Решение. Для нахождения точек перегиба надо найти вторую производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение

Для нахождения точек перегиба надо найти вторую производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения – это критические точки второго рода или точки возможного перегиба. Найдем первую производную

теперь найдем вторую производную

приравнивая вторую производную к нулю, получим уравнение

3-3x²=0

1-x²=0

откуда x_1,2= ±1 – критические точки второго рода

Проверим, действительно ли точки x= ±1 являются точками перегиба. Поскольку для данной функции:

,

то функция четная, значит, если x=1 – точка перегиба, то x= -1 – тоже точка перегиба. Проверим, меняет ли знак вторая производная при переходе через точку x=1. Возьмем, например, x= 0 (-1<0<1) и подставим во вторую производную. Получим . Возьмем теперь x=2, (2>1), тогда , (вычислять не обязательно, достаточно правильно оценить знак). Поскольку вторая производная меняет знак при переходе через точку x=1, то эта точка есть точка перегиба, но тогда и точка x=-1 – тоже точка перегиба. Ордината обеих точек перегиба будет , поскольку точки перегиба лежат на самой кривой. Итак, точки N₁(-1;1,5), N₂(1;1,5) – точки перегиба графика данной функции

N₁(-1;1,5), N₂(1;1,5) – точки перегиба

№ 10 Постройте график функции .