Механический смысл производной второго порядка: .

В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путём измерений, и точное их значение неизвестно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях используют приближённые методы. Теоретической основой одного из простейших приёмов приближённых вычислений является понятие дифференциала.

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком , т.е. .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y=f(x) геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке с координатами (x,y) при данных значениях х и Δх.

Для приближённых вычислений величин используют формулу f(x₀+∆x)≈f(x₀)+f’(x₀) ∆x.

С помощью производной, учитывая её механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной) возможно подробное исследование функций и построение их графиков.

При построении графиков функций с помощью производной пользуются планом:

1 Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2 Выяснить является ли функция четной или нечетной, проверить ее на периодичность.

3 Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4 Найти критические точки функции I рода. (Критические точки I рода – это точки, в которых производная равна нулю или не существует).

5 Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.