Метод сигнальных графов

В основе анализа электрических цепей, изложенного ранее, лежат законы Кирхгофа. Возможен, однако, под- i ход, основанный на причинно-следственных связях между токами и напряжениями в- различных участках схемы, названный методом сигнальных графов.

В отличие от графов рассмотренных ранее, в направленных графах прохождения сигналов (рис. 17 а) каждый узел (вершина) отображает какую-нибудь переменную, а каждая ветвь, соединяю­щая эти узлы отображает причинно-следственную связь между ни­ми: стрелка на ветви показывает направление передачи: от при­чины к следствию, а символ соответствующий стрелке, является оператором величины передачи ветви, равной отношению выходной переменной к входной рис.17 б.

Таким образом, одиночная ветвь, связывающая узлы сиг­нального графа, отображает графически взаимосвязь между переменными, а совокупность узлов и ветвей в виде сигнального графа яв­ляется топологической моделью системы линейных уравнений и по­зволяет наглядно представить взаимосвязи различных переменных и коэффициентов этих уравнений. В теории электрических цепей уз­лами графа обычно являются токи и напряжения- сигналы , отсюда название графа - сигнальный, а ветвями - проводимости, сопро­тивления или безразмерные величины коэффициентов передач;.

Простейшему уравнению соответствует граф на рис.17 б, имеющий два узла (переменные ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> и ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ) и одну ветвь ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , направленную от причины ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> к следствию ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Узел, отображающий на графе независимую (входную) переменную, называ­ется истоком, а отображающий выходную (зависимую) переменную -стоком. Исток должен содержать только исходящие ветви, а сток -входящие. Прочие узлы называют смешанными. Сигнал передается от одного узла к другому только в направлении стрелки. Поэтому переменная в узле определяется только входящими ветвями, выхо­дящие из узла ветви не оказывают на нее никакого влияния.

Теория графов позволяет по определенным правилам провести упрощение сложного графа к более простому виду, из которого можно легко определить передачу графа. Такая процедура эквивален­тна алгебраическому решению системы уравнений. Основные прави­ла эквивалентных преобразований поясняющие их примеры приводят­ся далее,

1. Передача нескольких параллельных, одинаково направлен­ных ветвей равна сумме передач этих ветвей (рис.18а).

2. Передача нескольких последовательных ветвей, соединяю­щих простые узлы (см. далее), образует путь сигнала, равный произведению передач, входящих в эту последовательность ветвей (рис.18 б). Простым называет узел графа, к которому не подсое­динена петля или контур,

3. Исключение петли. Петлей называется ветвь, начинающая­ся и кончающаяся в данном узле. Простейшему графу, содержащему петлю (рис.18 в), соответствует уравнение

или

Отсюда очевидно, что исключение петли меняет коэффициент передачи ветвей, которые заканчивались в узле, содержащем петлю .

4. Устранение контура. Контур междукакими-либо узлами имеется направлениями ветвей (рис.18 г).

образуется в графе, когда два пути с противоположными Для передачи от к :

Откуда

Первый член отображается ветвью с передачей , а второй -петлей с передачей . Для передачи от к контур представляет петлю в и его устранение равноценно устранению петли по правилу 3.

5. Контурная передача находится после разрыва любой из ветвей контура в любом ее месте. Отношение сигнала, пришед­шего к разрыву после обхода контура, к сигналу, посланному в разрыв, называется контурной передачей. Разрывать выбранную ветвь на части надо так, чтобы по одну сторону оставалась ветвь с исходным значением передачи, а по другую - ветвь с единичной передачей, не изменяющая величины передачи вдоль контура. Для рис.18 д, пользуясь правилами 2 и 3, находим значение контур­ной передачи

6. Инверсия пути представляет изменение направления какого-либо пути графа на обратное, т.е. замену причины и следствием, что эквивалентно решению уравнений относительно новой перемен­ной. Для графа, приведенного на рис.18 е, уравнение имеет вид

после инверсии

В инвертированном графе ветвь от к изменяет направле­ние на обратное. Таким образом, при инверсии необходимо изме­нить направление стрелок всех ветвей, входящих в инвертируемый путь; изменить на обратные ( на и т.д.) передачи всех ветвей, входящих в инвертируемый путь; концы не инвертируемых ветвей, подходившие к концам ветвей, подлежащих инвер­сии, после ее выполнения должны находиться там, где теперь находятся концы инвертированных ветвей. Передачи каждой из этих неинвертируемых ветвей делятся на передачу инвертируемой ветви с обратным знаком.

7. Общая формула передачи графа (формула Мэзона) имеет вид

где Р_к - передача К -го прямого пути, т.е. пути в котором уз­лы не встречаются более одного раза от до

n – число путей; ;

– сумма передач всех контуров и петель ;

- сумма перемноженных попарно передач всех контуров и петель, не касающихся друг друга, т.е. не имеющих общих узлов;

- сумма перемноженных по трое передач всех контуров и петель не касающихся друг друга;

- имеет тот же смысл, что и , только относится к пе­редачам контуров и петель, не касающихся К-го пути.

Например, в графе на рис.19 передача от x к y складыва­ется из двух прямых путей

Четырех контырных передач

И одной плети

Путь P₂ не соприкасается только с , поэтому . Для назодления из графа отыскиваем + , попарно не касаются дргу друга, в данном графе нет. В результате по формуле Мэзона находим полную передачу графа

Наибольшее распространение (особенно при анализе электронных схем) получил метод узловых напряжений, приводящий к

значительному сокращению числа уравнений для схем, содержа­щих общий базовый узел.

Для получения сигнального графа в форме напряжения (или ток) на входе устройства (причина) - напряжение (или ток) на вы­ходе устройства (следствие) обратимся к уравнению . Пред­ставим правую часть этого уравнения некоторые эквивалентным то­ком , т.е.

где - матрица узловых проводимостей. Рассмотрим структуру матрицы узловых проводимостей. Если обозначить через элементы матрицы инциденций , то элемент транспортированной матрицы есть . Элементы матрицы проводимости ветвей обозначим . Поскольку - диагональная матрица, то

Тогда отдельный элемент матрицы узловых проводимостей согласно правилам произведения матриц выражается так

Представим матрицу как сумму 2 матриц

Здесь - диагональная матрица с элементами

при для ,

Преобразуем матрицу

,

откуда следует, что эти элементы не отрицательны, так как . В то же время поскольку , так как сомножители всегда имеют разные знаки.

Используя уравнение, запишем матричное уравнение в виде

и умножим каждый член его слева на затем выразим узловое напряжение

Элементы обратной матрицы , поскольку она диагональная, равна . Тогда, если ввести матрицу с элементами , то уравнение в развернутой форме примет вид:

Сигнальный граф, построенный в соответствии с системой уравнений, описываемых матричным уравнением, имеет структуру, показанную на рис.20 б. Передачи ветвей графа могут быть найдены алгебраически по матрицам , А. Однако для практической (не машинной) реализации более удобна предлагаемая далее процедура.

Для получения сигнального графа по схеме электрических цепей выбирают базовый узел и вводят узловые потенциалы; источники напряжения, содержащиеся в ветвях (кроме входной) преобразуют в источники тока и определяют ; пересчитывают все сопротивления в проводимости (в общем случае комплексные или преобразованные по Лапласу); находят проводимости ветвей и узловые проводимости ; определяют передачи ветвей . Узловые проводимости представляют собой проводимость данного узла относительно базового, найденную из условия короткого замыкания всех остальных узлов (т.е. их замыкания на базовый узел). Это условие приводит к следующей формуле для определения собственной узловой проводимости:

,

где и берутся только те проводимости, которые связывают узлы с данным

узлом. Взаимные проводимости узлов представляют собой фактически проводимости ветвей, соединяющих узлы Таким образом, представляет собой взятую с обратным знаком проводимость ветви, соединяющей узел с узлом , деленную на собственную проводимость узла . Учитывая это и формулы

где узловая проводимость имеет физический смысл весового коэффициента для передачи к данному узлу . Аналогично противоположная передача от узла к равна

В цепях, не содержащих невзаимных элементов, .

Далее выбирают на плоскости узлы (кроме базового) с узловыми переменными

.

и соединяют их ветвями с передачей для пар узлов и , для передачи от узлов и и для передач от узлов к , что приводит к графу, называемому нормализованным сигнальным графом проводимостей. На рис.20 показан пример построения сигнального графа по описанной процедуре. На схеме цепи (рис.20 а) в качестве базового узла взят узел 0. Напряжения узлов 1,2,3,4 относительно узла 0 равны и на ряду с узлом составляют переменные графа (рис.20 б). Собственная узловая проводимость , так как внутреннее сопротивление источника равно 0 и эта передача от узла 2 к узлу 1 обозначена пунктиром на рис.20 б. Собственная проводимость узла 2 равна . Способ определения собственных проводимостей проиллюстрирован на примере узла 3 (рис.20 в): закорачивая узлы 2 и 4, получаем . Аналогично . Взаимные проводимости:

Узел источника тока соединяется с узлами через передачи и . Деля взаимные передачи, входящие в узлы, на собственные проводимости узлов приходим к структуре графа, показанной на рис.20 б.

Необходимо обратить внимание на то, что источник тока отображается на графе ветвями с взаимными передачами и (рис. 20 г), после деления которых на проводимости узлов получаем структуру на рис.20 д, использованную в графе на рис.20 б.

При наличии нескольких ветвей от источника тока в уравнение в качестве войдет их сумма для тех узлов, с которыми связаны данные источники тока. Если источник тока является входным для некоторого устройства так, что один из его плюсов заземлен (рис. 21 а), то входная часть графа отобразиться одной ветвью с передачей (рис.21 б).