Матрично-топологические методы

После перехода от реальной физической системы к моделирую­щей ее электрической цепи, а от последней к схеме замещения, составленной из элементов базового набора, задача анализа за­ключается в нахождении токов и напряжений в каждом элементе, исходя из которых определяются все остальные необходимые харак­теристики схемы в целом.

При анализе схем с помощью ЭВМ (машинном анализе) в машину вводится информация, содержащая табличное описание схемы (пе­речень элементов, их параметры и способ соединения), режим ана­лиза (статический, динамический) и перечень характеристик, под­лежащих определению. Программа должна обеспечивать автоматиза­цию процессов анализа конфигурации схемы, составление системы линейно-независимых уравнений цепей, их решение в требуемых режимах и вывод результатов анализа.

Указанные задачи решаются с помощью матрично-топологических методов, основанных на теории графов и матричной алгебре. Кон­фигурация схемы представляется с помощью топологических матриц, на основании которых составляются векторно-матричные уравнения цепей. Параметры элементов схем представляют в виде параметри­ческих матриц, которые используются для составления матричных уравнений, отражающих соотношения токов и напряжений эле­ментов. Полученная система матричных уравнений решается соответствующими численными методами. В настоящем пособии разумеется не ставится задача подробного и математически стро­гого топологического машинного анализа, а скорее - введе­ние в круг задач и формулировка основных понятий.

В основе топологических (геометрических) свойств цепей ле­жат два закона Кирхгофа, из которых видно, что топологи­ческие свойства цепей не зависят от тока и свойств элемен­тов ее составляющих.

Если ветви электрической схемы (рис.15 а) заменить от­резками (дугами) произвольной длины и формы, а точки их сое­динений (узлы)-вершинами, т₀ получившаяся геометрическая фи­гура (диаграмма) называется ненаправленным неориентирован­ным графом электрических цепей (рис.15 б). Если на ветви графе нанести направления токов (напряжений) в вине стрелок, то получится ориентировочный, граф или орграф (рис. 15 в). Для удобства расчетов на ветвях орграфа указывают параметры в со­ответствии со схемой цепи (рис.15 в). Любую совокупность вет­вей и вершин, принадлежащих графу, называют подграфом. Любой замкнутый путь, позволяющий выйти из вершины графа и вернуться в нее, не проходя дважды по одной ветви и не пересекая дважды одну и ту же вершину, называется контуром.

Подграф, содержаний все вершины графа и не содержащий ни одного контура, называется фундаментальным деревом графа, ко­торое для краткости будет называться далее просто деревом (вы­делено двойными линиями на рис.15в).

Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева или ребрами, а не вошедшие - хордами или ветвями связи. Сово­купность хорд образует дополнение дерева. Если обозначить число вершин (узлов) графа через , число всех ветвей - че­рез , число ребер - через р, а число хорд - через , то они связаны соотношениями:

Для одного и того же графа можно построить много деревьев в зависимости от выбора начальной вершины. Часть из них будут изоморфными (отличаются только нумерацией вершин).

Граф схемы можно не только начертить, но и записать аналитически в виде таблицы, называемой матрицей соединений (инциденций). Число ее строк равно числу узлов (вершин графа), а число столбцов – числу ветвей. Каждый элемент матрицы равен – I, если j-я ветвь входит в i-й узел, +I, если выходит 0 если она не соединена j-м узлом. Для получения линейно независимой системы вычеркивают одну из строк, обычно соответствующую базисному узлу, образующаяся при этом матрица A размером называется матрицей узлов. Общая структура матрицы A и ее содержание для графа на рис.15 (в) показаны в табл.4. Матрица A может быть представлена как совокупность подматриц:

Кроме матрицы узлов , для описания топологии используют матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называет­ся любая минимальная совокупность ветвей, при удалении которых граф распадается на два подграфа.; Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности Si , однократно рассекающей соответствующие ветви; часть графа, за­ключенную внутри сечения называют обобщенным узлом. Главным сечением называется сечение, одна из ветвей которого есть реб­ро, а остальные ветви-хорды (например сечение S₁ , отмеченное пунктиром на рис.15 в). Главным контуром называется контур, образующийся при подключении хорды к дереву графа.

Очевидно, что число главных сечений равно числу pебep, т.е. , а число главных контуров – числу хорд, т.е. b-y-1. Матрица главных сечений Q – это прямоугольная таблица размером , строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы – ветвям графа. Каждый элемент q_ij этой матрицы равен +I, если j - я ветвь входит в i-е сечение со знаком «+», равен –I, если со знаком « - » и 0, если не входит; при этом за положительное направление ветви в сечении принимается направление ветви дерева этого сечения.

Матрицей главных контуров B называется таблица размеров , строки котрой соответствуют главным контурам, а столбцы – ветвям графа. Каждый элемент b_ij этой матрицы равен + 1 , если направление ветви совпадает с направ­лением обхода контура, -1— при противоположном направлении и 0, если ветвь не входит в контур. За направление контура выби­рают направление хорды (ветви связи) этого контура.

С помощью топологических матриц можно сформулировать за­коны Кирхгофа для электрических цепей в матричной форме. Обоз­начим через

столбцовую матрицу токов всех ветвей, тогда уравнение

представляет матричную запись I-го закона Кирхгофа. Если обозначить через

столбцовую матрицу напряжений ветвей, то уравнение

представляет матричную запись 2-го закона Кирхгофа. Соответственно уравнение

представляет запись 1-го закона Кирхгофа для обобщенных узлов. Если обобщенные узлы совпадают с простыми узлами схемы, то

Дуальными называют два графа, если узловая матрица одного их них A₁ равна контурной матрице B₂ другого (и наоборот):

Отсюда следует свойства дуальности электрических схем и правила построения дуальных цепей, отмеченные ранее.

С помощью матрицы A можно выразить напряжение всех ветвей через потенциалы узлов, если ввести столбцовую матрицу потенциалов узлов

то

Где A – транспортировочная узловая матрица, а потенциалы узлов U_i отсчитываются относительно базисного угла. Если матрицу напряжений ветвей дерева обозначить через U^(д), то

Т.е. напряжение любой ветви схемы можно определить через напряжение ветвей дерева.

Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица главных сечений может быть разделена на две подматрицы:

Где 1 – единичная подматрица порядка , столбцы которой соответствуют ветвям дерева; F – подматрица, столбцы которой соответствуют ветвям связи.

Токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации токов ветвей связи, можно вывести контурный ток, равный току ветви связи этого контура, тогда

Где – столбцовая матрица контурных токов.

Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица главных контуров состоит из двух подматриц:

Следует подчеркнуть, что матрицы Q и B записаны для главных сечений и главных контуров, соответствующих одному и тому же дереву; единичные подматрицы в них имеют разный порядок: - в матрице Q и – в матрице B.

При практической решении задачи матрично-топологическими методами каждую ветвь K (рис.16) графа схемы представля­ют обобщенной ветвью, образованной двухполюсником Y_k или

Z_k и двумя источниками: напряжения Ė_k и тока _k . Тогда из закона Ома уравнение, описывающее эту ветвь будет иметь вид

Используя уравнение

A·I=0

Находим

A·Y·U=A(J-Y·F)

И далее, подставляя

U=A^T·U^(y)

Назовем матрицей узловой проводимости

Тогда

Узловое напряжение равно

После того как найдено U^(y) можно по уравнению найти U^(b) и далее ток любой ветки .

Проведенный анализ носит название узлового. Используя свойство дуальности можно провести контурный анализ. Из уравнения

И уравнения обобщенной ветви в виде

Получим

Это векторно-матричное уравнение относительно всех контурных токов (токов связей графа), представляющее собой в развернутом виде систему из интегро-дифференциальных уравнений. При получении графа из схемы цепи требуется зако­рачивать источники напряжений и разрывать ветви с источниками тока, а ветви с идентичными источниками преобразовать специ­альными приемами или соблюдать приоритет (иерархию) формиро­вания матриц по столбцам в виде правила

Дерево

E, C, R, L, J

Дополнение

Таким образом, ветви с источниками напряжения должны быть в дереве графа, а с источниками тока - в его дополнении, т.е. являться хордами (см. рис.15 в и табл.4).

Матрица проводимости ветвей Y становится недиагональ­ной, если в схеме имеются управляемые напряжением источники тока и при наличии индуктивных связей.

Полученные уравнения (25), (27) неудобны для численного ре­шения и в случае линейных уравнений их сводят к системе линей­ных алгебраических уравнений с помощью преобразований Фурье или Лапласа.

При условии, если R, C, L - элементы являются нелиней­ными, зависящими от напряжений и токов в них, то их параметры выражаются частными производными соответствующих функций.

При анализе переходных характеристик численными метода­ми решения уравнений вся длительность переходного процесса рассматривается состоящей из большого количества интервалов времени.

Основным недостатком рассмотренных методов анализа це­пей является необходимость обращения параметрических матриц вида или Известно, что из всех опе­раций над матрицами обращение матриц является наиболее трудо­емкой, требующей больших затрат времени. Поэтому в настоящее время разработаны более эффективные в общем случае динамическо­го анализа сложных нелинейных схем методы: метод переменных состояния с использованием мал их ( ЭВМ и дифференциально-ко­нечный метод, ориентированный на ЭВМ третьего поколения.