ВВЕДЕНИЕ. Система открытого образования

Система открытого образования

О.Б. Плющ

Высшая математика

Курс лекций

Часть I

3-издание, стереотипное

Элементарная математика

Аналитическая геометрия

Линейная алгебра

Минск

УДК 51

ББК 22.1

П40

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при
Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 7

Лекция 1. Основы математической логики. 7

Высказывания и логические связки. 9

Контрольные вопросы к лекции №1. 12

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА.. 13

Лекция 2. Элементы теории множеств. 13

Основные понятия. 13

Основные операции над множествами. 15

Отображения. 18

Отношения эквивалентности и упорядоченности. 21

Контрольные вопросы к лекции №2. 23

Лекция 3. Числовые множества. 24

Основные понятия. 24

Соединения. Бином Ньютона. 26

Комплексные числа. 28

Операции над комплексными числами. 30

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного
числа. 34

Контрольные вопросы к лекции №3. 36

ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.. 37

Лекция 4. Векторы.. 37

Основные понятия. 37

Линейные операции над векторами. 39

Проекция вектора на ось. 41

Линейная зависимость векторов. 41

Базис. Координаты вектора в базисе. 44

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов.
Деление отрезка в данном отношении. 45

Направляющие косинусы.. 47

Скалярное произведение. 48

Векторное произведение. 50

Смешанное произведение. 53

Контрольные вопросы к лекции №4. 55

Лекция 5. Прямая. 56

Основные понятия. 56

Взаимное расположение прямых. 58

Контрольные вопросы к лекции №5. 60

Лекция 6. Плоскость. 61

Основные понятия. 61

Нормальное уравнение плоскости. 63

Взаимное расположение плоскостей. 64

Контрольные вопросы к лекции №6. 65

Лекция 7. Кривые второго порядка. 66

Уравнение фигуры.. 66

Эллипс. 67

Гипербола. 72

Парабола. 75

Исследование на плоскости уравнения второй степени. 76

Контрольные вопросы к лекции №7. 78

ТЕМА 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.. 79

Лекция 8. Понятие евклидова пространства. 79

N-мерные векторы.. 79

Коллинеарные векторы.. 81

Размерность и базис векторного пространства. 83

Контрольные вопросы к лекции №8. 86

Лекция 9. Матрицы.. 87

Основные понятия. 87

Операции над матрицами. 88

Определитель матрицы.. 90

Ранг матрицы.. 94

Обратная матрица. 98

Контрольные вопросы к лекции №9. 100

Лекция 10. Понятие линейного оператора. 101

Переход к новому базису. 101

Линейное преобразование переменных. 102

Собственные значения и собственные вектора матриц. 103

Контрольные вопросы к лекции №10. 106

Лекция 11. Многочлены.. 107

Основные понятия. 107

Теорема о делении с остатком.. 108

Теорема Безу. 108

Контрольные вопросы к лекции №11. 112

Лекция 12. Квадратичные формы.. 113

Понятие квадратичной формы.. 113

Канонический базис квадратичной формы.. 115

Положительно и отрицательно определенные
квадратичные формы.. 120

Применение квадратичных форм к исследованию
кривых второго прядка. 123

Контрольные вопросы к лекции №12. 125

Лекция 13. Системы линейных уравнений. 126

Основные понятия. 126

Критерий совместности системы линейных уравнений. 128

Правило Крамера решения систем линейных уравнений. 128

Метод Гаусса. 130

Однородные системы уравнений. 131

Разрешенные системы линейных уравнений. 132

Контрольные вопросы к лекции №13. 135

Лекция 14. Основы линейного программирования. 136

Линейное программирование. 136

Задача линейного программирования. 138

Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме. 140

Множества допустимых решений. 143

Опорное решение задачи линейного программирования,
его взаимосвязь с угловыми точками. 145

Теория двойственности. 156

Теоремы двойственности. 161

Контрольные вопросы к лекции 14. 163

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ... 164

ЛИТЕРАТУРА.. 166

ВВЕДЕНИЕ