Основные операции над множествами
Рис. 2.2. | Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . |
Рис. 2.3. | Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества и называются непересекающимися. |
Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества , что каждый элемент множества является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.
Рис. 2.4. | Разностью множеств и или дополнением до называется множество, состоящее только из тех элементов , которые не входят в . Эта операция над множествами обозначается знаком . |
Рис. 2.5. | Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества . В таком случае разность (дополнение до ) обозначают, как , а операцию называют взятием дополнения. |
Рис. 2.6. | Симметрической разностью множеств и называется множество : . Обозначается симметрическая разность: или . |
Для подмножеств данного множества выполняются следующие законы:
· Закон коммутативности (переместительный закон):
; ;
· Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств , и :
;
;
· Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств , и :
;
;
· ; ;
· ; ;
· ; ;
· ;
· ;
· ; ;
· ; ;
· ; ;
· ; .
Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.
Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой на , на и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.
Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.
Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.
Большое значение в современной математике имеет множественная операциядекартово произведение.Если заданы два множества и , то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем – элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств и называется множество , составленное из упорядоченных пар ( ). Декартово произведение множеств и обозначается .
Очевидно, что и ‑ различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 1324;