Закон збереження маси
У цьому параграфі розглядається вивід рівняння нерозривності для різних випадків руху однорідної і неоднорідної рідини, який є математичним виразом закону збереження (постійності) маси. У загальному випадку руху швидкість , густина і тиск є функції координат , і , частинки, що рухається, і часу , тобто
; (2.18)
; (2.19)
. (2.20)
При цьому - швидкість рідини у кожній даній точці простору у момент часу , тобто вона відноситься до певних точок простору, а не до певних частинок рідини, які рухаються у просторі. Теж саме відноситься до і .
Нестислива рідина.
Розглядається одномірний рух рідини у трубі (рисунок 2.3.) вздовж осі .
Рисунок 2.3 – Схема одномірного руху рідини у трубі.
Рахуючи, що рідина нестислива, приймаємо, що у ній неможливе утворення пустот, тобто дотримується умова нерозривності руху. Виходячи з цього, кількість рідини, яка проходить за одиницю часу через переріз 1 – 1 ( ) і 2 – 2 ( ) повинна бути рівною, тобто
. (2.21)
Позначимо через масову швидкість у напрямі осі , де - густина рідини, яка розглядається. Так як маса рідини в об'ємі, який розглядається, не змінюється, то масова швидкість у всіх перерізах буде однакова
. (2.22)
Отже
, (2.23)
тобто
. (2.24)
Формула (2.14) виражає закон збереження маси при одномірному русі рідини. Виходячи з формули (2.13) чи (2.14) маємо , тобто із врахуванням постійності густини , де – середня швидкість у перерізі 1 – 1, а - у перерізі 2 – 2.
При виводі рівняння (2.14) передбачається, що площа перерізу труби постійна. У іншому випадку, позначаючи площу перерізу 1 – 1 через , а площу 2 – 2 через і враховуючи, що
і (2.25)
з формули (2.12) одержимо
. (2.26)
З формули (2.16) видно, що при усталеній течії нестисливої рідини середні швидкості у поперечних перерізах обернено пропорційні до площ цих перерізів.
Так як при усталеній течії газу масова витрата по довжині труби має одне і те саме значення, то, виходячи з (2.12) і (2.15), для усталеної течії газу одержуємо
(2.27)
або
. (2.28)
Розглянемо випадок плоскої течії нестисливої рідини. Для цього візьмемо паралелепіпед з сторонами , , 1 об'ємом (рисунок 2.4).
Кількість рідини, яка перетікає через сторони 1, 2, 3 і 4, відповідно буде
, (2.29)
де і – масові швидкості у напрямі осей і .
Рисунок 2.4 – Схема плоскої течії рідини.
Відзначимо, що на рисунку 2.4 не обмежуємо напрям течії. Рідина може надходити через грані 1 і 4 і витікати через грані 2 і 3 або надходити через грані 1 і 2 і витікати через грані 3 і 4. Також можливі інші напрями течії. Але кількість рідини, що надійшла, повинна бути рівною кількості рідини, яка витекла. Це пояснюється тим, що у розглянутому прикладі рідина нестислива, тобто у об'ємі, який розглядається, маса (густина) рідини не змінюється.
Іншими словами,
. (2.30)
Закон збереження маси (2.18) показує, що кількість рідини, яка надійшла у даний об'єм, рівна кількості рідини, яка витекла з даного об'єму. Вирази у дужках у формулі (2.18) завжди мають різні знаки, причому тут приводяться алгебраїчні значення . Останнє зауваження має місце при будь-якому варіанті течії.
Зміна кількості рідини у прямокутнику, який розглядається, буде
(2.31)
у напрямі осі і
(2.32)
у напрямі осі .
У всіх випадках течії нестисливої рідини і будуть мати різні знаки і
. (2.33)
Формула (2.21) одержана з врахуванням рівності кількості рідини, яка надходить у розглянутий об'єм, до кількості рідини, яка витікає з цього об'єму. Підставивши значення і з (2.19) і (2.20) у (2.21) одержуємо
. (2.34)
Розділивши останній вираз на , і перейшовши до границі і , одержимо
(2.35)
або
. (2.36)
Формула (2.22) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при плоскій течії нестисливої рідини.
У формулі (2.22) і завжди мають різні знаки. Це пояснюється тим, що якщо, наприклад, від'ємна величина, то зменшується, і у напрямі осі більше надходить рідини (через переріз 1), ніж витікає (через переріз 2), що може призвести до нагромадження рідини. Тому з-за нестисливості рідини у напрямі витік рідини повинен бути більше її притоку. буде рости вздовж , тобто значення повинно бути додатним. Точно також при додатному витік рідини у напрямі повинен компенсуватися її притоком у напрямі , отже буде зменшуватись, тобто значення повинно бути від'ємним.
Нарешті, розглянемо течію нестисливої рідини у просторі. Для цього візьмемо паралелепіпед (рисунок 2.5), грані якого паралельні координатним площинам і мають площі відповідно
. (2.37)
Кількість рідини, яка протікає через грані взятого паралелепіпеда, визначається за формулами
; (2.38)
; (2.39)
; (2.40)
; (2.41)
; (2.42)
. (2.43)
де – масова швидкість у напрямі осі .
Рисунок 2.5 – Течія нестисливої рідини у просторі.
Зміна кількості рідини у розглядуваному паралелепіпеді буде:
(2.44)
у напрямі ;
(2.45)
у напрямі ;
. (2.46)
Так як рідина нестислива, то
. (2.47)
У залежності від напряму руху дві з цих величин будуть мати однаковий знак, а третя величина – протилежний. У іншому випадку рідина з усіх сторін буде надходити у об'єм, який розглядається, що фізично неможливо з-за нестисливості рідини.
Підставивши значення у (2.23), розділивши їх відповідно на , і та перейшовши до границі , і , одержимо
, (2.48)
або
. (2.49)
Формула (2.24) виражає закон збереження маси і називається рівнянням нерозривності (суцільності) при просторовій течії нестисливої рідини. При одержанні рівняння (2.24) припускається, що рідина нестислива, тобто маса (густина) рідини у об'ємі, який розглядається, не змінюється. Якщо у (2.24) значення і мають однаковий знак, наприклад додатний, то це означає, що у напрямі і більше витікає рідини, ніж надходить, так як у цьому випадку і зростають. У зв'язку з нестисливістю рідини цей витік повинен компенсуватися притоком у напрямі . По напряму приток рідини у об'єм, який розглядається, повинен бути більше її витоку з цього об'єму, тобто буде зменшуватись, отже, значення повинно бути від'ємним.
Стислива рідина.
Якщо рідина стислива, тобто густина (і, відповідно, маса) рідини може змінюватись у часі, то зміна кількості рідини у розглянутому об¢ємі призведе до зміни густини (маси) рідини у тому ж об¢ємі. Так, наприклад, для стисливої рідини (рисунок 2.3) і за деякий проміжок часу різниця між кількістю притоку рідини у даний об’єм і відпливу з нього призведе до зміни густини рідини у аналізованому об¢ємі. При цьому якщо , тобто у даний об’єм більше притікає рідини, чим із нього випливає, то це призведе до збільшення густини у даному об¢ємі, якщо ж , то кількість рідини, що випливає з даного об¢єму, більше кількості рідини, що притікає у нього і призведе до зменшення густини рідини у даному об’ємі. Таким чином, якщо протягом деякого проміжку часу величина , то густина у даному об’ємі зростає, тобто , якщо ж , то густина у даному об’ємі зменшується, тобто .
Отже, зростання масової швидкості у даному об’ємі за деякий проміжок часу призводить до зменшення густини рідини у даному об’ємі, а зменшення масової швидкості призводить до зростання густини у даному об’ємі. Іншими словами, і завжди будуть мати протилежні знаки, тобто знаки і - будуть різні. Таким чином, якщо для нестисливої рідини , то для стисливої рідини . При цьому якщо , то вздовж осі зменшується, тобто більше притікає рідини у даний об’єм, ніж із нього витікає, що призводить до зростання густини у часі, або ж . Аналогічно, якщо , то зростає вздовж осі , тобто більше витікає рідини з даного об’єму, ніж у нього притікає, що призводить до зменшення густини у часі, або .
Проілюструємо сказане вище на прикладах. Позначимо через об’єм і припустимо, що . Нехай кількість, що притікає за час у цей об’єм, рідини буде , а кількість рідини, що витікає, . Зміну маси у даному об’ємі за час позначимо через . Тоді
а) якщо = 20 кг , a = 19 кг, тобто у зазначений об’єм більше притікає рідини, ніж випливає, то маса рідини збільшується на
,
тобто на 2%;
б) якщо = 20 кг,, a = 22 кг, тобто з цього об’єму більше випливає рідини, ніж у нього притікає, то маса рідини зменшується на
,
тобто на 2%.
Тепер перейдемо до одержання математичного виразу закону сталості маси, тобто до виводу рівняння нерозривності стисливої рідини. Для одномірної течії рідини (рисунок 2.3) зміна кількості рідини за деякий проміжок часу складе
, (2.50)
де - площа поперечного перетину труби.
Зміна ж маси у аналізованому об’ємі за той же проміжок часу
. (2.51)
Як було зазначено вище, і завжди будуть мати різні знаки. Прирівнюючи праві частини (2.25) і (2.26), одержуємо вираз закону сталості маси
. (2.52)
У результаті ділення останнього виразу на при переході до межі при і знаходимо
, (2.53)
або ж
. (2.54)
Рівняння (2.27) називається рівнянням нерозривності стисливої рідини при лінійному плині. Права частина, тобто характеризує зміну густини рідини у часі, а ліва частина - зміну швидкості уздовж осі (осі труби).
Тому і завжди будуть мати різні знаки. Рівняння (2.27) справедливо для будь-якої точки у будь-який момент часу . Це пояснюється тим, що перерізи та , а також моменти часу і були узяті довільно, а для одержання (2.27) ми переходили до межі при і , тобто формула (2.27) була отримана для довільної точки і довільного моменту часу . Останнє зауваження ставиться також до випадку плоского і просторового плину рідини.
При плоскому плині рідини ми виходили з рисунка 2.4. Зміна кількості рідини за проміжок часу визначали за формулою
, (2.55)
а зміну маси у аналізованому об’ємі - за формулою
. (2.56)
При виводі формул (2.28) і (2.29) розглядаємо паралелепіпед із шириною, рівною одиниці, довжиною і висотою . Прирівнявши праві частини (2.28) і (2.29), попередньо розділивши їх на , і перейшовши до межі при ; і , одержимо
, (2.57)
або
. (2.58)
Це рівняння називається рівнянням нерозривності плоского плину стисливої рідини, і справедливо воно для будь-якої точки у будь-який момент часу .
Нарешті, для одержання рівняння нерозривності при плині рідини у просторі ми виходили з рисунка 2.5. Зміну кількості рідини у аналізованому об’ємі за проміжок часу визначали за допомогою рівності
. (2.59)
Зміна ж густини у аналізованому об’ємі за аналізований проміжок часу буде
. (2.60)
Прирівнявши праві частини (2.31) і (2.32), попередньо розділивши їх на , і перейшовши до межі при ; ; і , одержимо
, (2.61)
або
. (2.62)
Це рівняння являє собою рівняння нерозривності при просторовій течії стисливої рідини. Права частина рівняння характеризує зміну густини у часі, а ліва - зміну кількості рідини у аналізованому об’ємі.
Рівняння (2.33) справедливо для будь-якої точки простору у будь-який момент часу . Величини і можуть мати як однакові, так і протилежні знаки. Проте у усіх випадках знаки і - будуть протилежними. Так, наприклад, якщо у точках зазначеного об’єму значення позитивне ( при цьому і усі можуть бути позитивними або мати різні знаки), то це значить, що з зазначеного об’єму рідини випливає більше, ніж притікає. Останнє призводить до зменшення густини у цьому об’ємі у часі, тобто . Аналогічно, якщо значення від¢ємне ( при цьому і усі можуть бути від¢ємними або ж мати різні знаки), то у даний об’єм більше притікає рідини, чим випливає; останнє призводить до збільшення густини у часу у цьому об’ємі, і, отже, .
При одержанні рівняння нерозривності (2.33) підраховувалася зміна маси у об’ємі паралелепіпеда . Цей паралелепіпед заповнений. Якщо роздивитися фільтрацію рідини через однорідне пористе середовище шпаристістю т, то об’єм, зайнятий рідиною, стане рівним .
Тому рівняння нерозривності у цьому випадку буде
. (2.63)
Аналогічно для плоского й одномірного плину з рівнянь (2.30) і (2.27) одержимо такі рівняння нерозривності плоскої й одномірної фільтрації рідини:
, (2.64)
. (2.65).
У випадку суміші рідин і газів, тобто перемінності складу уздовж об’єму, рівняння нерозривності виводиться для двокомпонентної системи. Склад суміші визначається масовою концентрацією c - відношенням маси даного компонента до загального маси рідини у заданому елементарному об’ємі.
Зміна відбувається шляхом механічного перемішування - склад об’єму , що рухається , не змінюється, але в кожній заданій нерухомій точці, що знаходиться в цьому місці рідини, c згодом буде змінюватися.
При дифузії під і розуміються мольні швидкості потоку, а буде відповідати концентрації. Умовою дифузії є наявність градієнту концентрацій компонента , що дифундує, (аналогічно тому, як температурний градієнт є умовою теплопровідності). Будемо вважати, що маса, яка накопичується, викликає збільшення концентрації компонента . За допомогою цього приросту концентрації також можна висловити масу , що накопичується в елементарному паралелепіпеді .
Закон збереження енергії.
Покажемо на прикладах, як можна застосовувати закон збереження енергії для опису деяких фізичних процесів.
У основному будуть розглядатися механічний і тепловий процеси, тому сформулюємо для них закон збереження енергії. Для механічних процесів сума кінетичної і потенційної енергії постійна.
При теплових процесах закон збереження енергії, або перший закон термодинаміки, записується так: нескінченно мала зміна внутрішньої енергії складається з двох частин - із кількості тепла, отриманого тілом, і виконаної тілом роботи.
Робота при надходженні тепла залежить від початкового і кінцевого стану тіла і від шляху, по якому змінюється стан тіла. Тому не можна розглядати тепловий ефект процесу як різницю цих кількостей у кінцевому і початковому станах.
З поглинанням тепла в кількості температура підвищується на розмір .
Відношення (де - маса тіла) називається теплоємністю тіла. У фізиці користуються теплоємністю при постійному тиску і теплоємністю при постійному об’ємі .
Застосуємо перший закон термодинаміки для дослідження процесу поширення тепла в тілі.
Розглядаються два перетини 2-2 і 2-2 (рисунок 2.7). Тіло має якусь визначену початкову температуру. До одного кінця тіла підводиться джерело тепла або холоду. Відповідно до цього в тілі відбувається нагрівання або охолодження.
Температура в якійсь точці тіла буде залежати від відстані точки до місця підводу тепла і часу .
На поточний розподіл температури у тілі впливає початковий розподіл температури, а також умови у кінцевих перетинах тіл, зокрема від температури на обох кінцях тіла.
Рисунок 2.7 – Схема руху тепла.
У приведеному прикладі через перетин 2-2 у одиницю часу підводиться кількість тепла, рівна . Через перетин 2-2 у одиницю часу відводиться кількість тепла, рівне . Різниця між цими кількостями тепла
(2.66)
відповідно до першого закону термодинаміки витрачається на зміну температури у відсіку між перерізами 1-1 і 2-2.
Якщо , то тіло нагрівається, у протилежному випадку – охолоджується , тобто у першому випадку
, (2.67)
а у другому – .
При зміні кількості підведеного й відведеного тепла на розмір температура тіла (відповідно до закону збереження енергії і визначення теплоємності) повинна змінюватися на величину
; (2.68)
, (2.69)
де - елементарна маса тіла; - площа поперечного перетину тіла; - густина тіла.
Так як при і при , у правій частині (2.68) поставлений знак мінус.
Підставивши у (2.68) значення і відповідно з (2.60), (2.62) і розділивши його на і при і , одержимо
. (2.70)
Таким чином, в одному рівнянні одержуємо два невідомих і . Покажемо застосування закону збереження механічної енергії.
Позначимо через - дотичну напругу. Виведемо диференційне рівняння прямування у круглій циліндричній трубі уздовж кільця. Для цього виділимо у зоні на відстані від осі труби елементарний кільцевий прошарок товщиною та довжиною і складемо рівняння рівноваги сил, що діють на виділений елемент. Цими силами будуть: гальмівна сила , сила прискорення , сила тиску і сила енергії .
За принципом д'Аламбера, сума цих сил повинна дорівнювати нулю. Якщо при цьому врахувати, що перша й остання з цих сил діють у напрямку, оберненому дії інших двох сил, то
. (2.71)
Зневажаючи розміром у порівнянні з іншими членами, одержуємо
. (2.72)
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 983;