Задание отношений при помощи предикатов

Если для отношения r, заданного на всем квадрате Х ² либо его части, возможности всего две (хr у либо хØr у), то такой набор пар элементов (х, у) всегда может быть интерпретирован как область истинности некоторого двухместного предиката Р(х, у), заданного на Х ², который определяется следующим образом: P(х,y) = true, если хr у, иначе P(х,y) = false.

Данный прием позволяет во многих случаях довольно просто задавать отношения не только на конечных, но и на бесконечных множествах любой мощности.

Пример 3. Отношение из примера 1 можно задать при помощи предиката Р(х,у) =¢ х ³ y ¢, поскольку все пары (х, у), входящие в отношение и только они, удовлетворяют данному условию.

Пример 4. Х = R².Зададим отношение при помощи предиката Р(x, у) = «x больше у». Оно будет образовано парами (x, у)из области истинности предиката Р(x, у), которая на декартовой плоскости будет полуплоскостью, лежащей ниже прямой х = у.

Замечание. 1. В ряде случаев при задании отношения с помощью предикатов необходимо дополнительно уточнять условие непринадлежности пары элементов (х, у)отношению r— (х Ø rу), поскольку отрицание предиката может быть интерпретировано неоднозначно.

2. Будем считать, что в исходном множестве А все элементы – разные и равенство элементов может означать только тождество элемента с самим собой. В случае одинаковых элементов в А для непротиворечивого задания отношения на него необходимо накладывать дополнительные ограничения.