Замечание.

1. Мощность множества классов эквивалентности может быть как конечной, так и бесконечной (счетной, континуум и т.д.).

2. Смысл понятия эквивалентности в том, что с точки зрения разбиения множества Х элементы хi и хj неразличимы, если попадают в один класс. Обычно отношение эквивалентности обозначают символом « º ».

Определение. Поэлементным будем называть такое разбиение множества на классы эквивалентности, где каждый класс Хi содержит ровно один элемент из Х.

Фиктивным будем называть разбиение в котором выделен один класс Х1, совпадающий со всем Х,(Х1= Х).

Пример 1. Рассмотрим в качестве Х множество натуральных чисел N. Его можно разбить отношением эквивалентности на два непересекающихся класса, дающих в сумме все N: множество четных (делящихся на 2 без остатка) чисел N2 и множество нечетных (делящихся на 2 с остатком 1) чисел N`2. При этом само множество пар отношения будет образовано: а) всеми парами четных чисел; б) всеми парами нечетных чисел. Смешанные пары (четное число с нечетным и наоборот) в него не войдут.

Данное отношение эквивалентности можно задать при помощи предиката Р(х, у) =«х - у кратно 2».

Пример 2. Х = N. Х1 ={1}, Х2 ={2, 3}, Х3 = {4, 5, 6, 7},…, Хi = {множество целых чисел от 2i-1до2i–1}. Выделенные множества Х12, ... не пересекаются, объединение их равно N. Следовательно, они разбивают N на классы. Их число бесконечно. Несложно показать, что ½{ Хi =À0. Множество пар, составляющих отношение, будет следующим: {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (4, 7); (5, 4); (5, 5); (5, 6)…}.

Отношение можно задать при помощи предиката, непосредственно задающего структуру классов эквивалентности: Р(х,у)=«2i-1 х, у ≤2i-1, iÎ N».

Пример 3. Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ниже приведены при помощи матриц примеры отношений, реализующих следующие разбиения Х на классы: 1) разбиение: Х1={1,2}, Х2={3}, Х3={4, 5, 6};2) фиктивное: Х1= Х ; 3) поэлементное: Х1={1}, Х2 ={2}, Х3={3}, Х4 = {4}, Х5 ={5}, Х6={6}.

 
+ + - - - -
+ + - - - -
- - + - - -
- - - + + +
- - - + + +
- - - + + +

 

 
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +

 

 
+ - - - - -
- + - - - -
- - + - - -
- - - + - -
- - - - + -
- - - - - +







Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 853;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.