Замечание.

1. Мощность множества классов эквивалентности может быть как конечной, так и бесконечной (счетной, континуум и т.д.).

2. Смысл понятия эквивалентности в том, что с точки зрения разбиения множества Х элементы х_i и х_j неразличимы, если попадают в один класс. Обычно отношение эквивалентности обозначают символом « º ».

Определение. Поэлементным будем называть такое разбиение множества на классы эквивалентности, где каждый класс Х_i содержит ровно один элемент из Х.

Фиктивным будем называть разбиение в котором выделен один класс Х₁, совпадающий со всем Х,(Х₁= Х).

Пример 1. Рассмотрим в качестве Х множество натуральных чисел N. Его можно разбить отношением эквивалентности на два непересекающихся класса, дающих в сумме все N: множество четных (делящихся на 2 без остатка) чисел N₂ и множество нечетных (делящихся на 2 с остатком 1) чисел N_`2. При этом само множество пар отношения будет образовано: а) всеми парами четных чисел; б) всеми парами нечетных чисел. Смешанные пары (четное число с нечетным и наоборот) в него не войдут.

Данное отношение эквивалентности можно задать при помощи предиката Р(х, у) =«х - у кратно 2».

Пример 2. Х = N. Х₁ ={1}, Х₂ ={2, 3}, Х₃ = {4, 5, 6, 7},…, Х_i = {множество целых чисел от 2^i-1до2ⁱ–1}. Выделенные множества Х₁,Х₂, ... не пересекаются, объединение их равно N. Следовательно, они разбивают N на классы. Их число бесконечно. Несложно показать, что ½{ Х_i }½=À₀. Множество пар, составляющих отношение, будет следующим: {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (4, 7); (5, 4); (5, 5); (5, 6)…}.

Отношение можно задать при помощи предиката, непосредственно задающего структуру классов эквивалентности: Р(х,у)=«2^i-1 ≤ х, у ≤2ⁱ-1, iÎ N».

Пример 3. Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ниже приведены при помощи матриц примеры отношений, реализующих следующие разбиения Х на классы: 1) разбиение: Х₁={1,2}, Х₂={3}, Х₃={4, 5, 6};2) фиктивное: Х₁= Х ; 3) поэлементное: Х₁={1}, Х₂ ={2}, Х₃={3}, Х₄ = {4}, Х₅ ={5}, Х₆={6}.