Задание с помощью логических функций (предикатов)

На универсальной совокупности U рассматриваемых объектов вводится одноместный предикат P, выполняющий роль характеристической функции задаваемого множества А. Условие включения элемента а в множество А можно представить в виде: а Î АÛ Р(а).

Пример 2. Введем свойства на расширенном множестве натуральных чисел `N:

1) D₂(n) = «число n делится без остатка на 2» — свойство выполняется для четных чисел, для нечетных не выполняется.

2) Pr(n) = «число n делится без остатка только на 1 и на самое себя» — свойство выполняется только для простых чисел.

Пример 3.Описания множеств.

1) U = N. Множество четных чисел — с помощью D₂(n).

2) U =`N. Множество простых чисел — с помощью Pr(n).

3) U = R. Множество решений уравнения sin(х)=0. Для элементов хÎR общим логическим свойством является «быть решением уравнения sin(х)=0».

Данный способ позволяет задавать как конечные, так и бесконечные множества. Основной недостаток его заключается в том, что при использовании логических функций могут возникнуть парадоксы. Например «парадокс брадобрея». В некотором полку (который принимаем в качестве U) есть брадобрей. Множество А всех его клиентов а задано логическим условием Р(a) = «если а не бреется сам, то он обязан пользоваться только услугами брадобрея». Задание множества A описанием а Î АÛ Р(а) не коpрeктно, поскольку сам брадобрей не может быть ни включен в А, ни исключен из А.

Утверждения, в которых противоречиво задается принадлежность объектов к тому или иному множеству, известны еще с Древней Греции. Например, известное изречение «Лжец» мудреца Эпименида: «Я утверждаю, что я – лжец». Если говорящий лжец и каждое его высказывание ложно, то его утверждение неверно и он не лжец. Если же допустить, что говорящий не лжец и сказал правду, то отсюда следует, что на самом деле он лжец.

Одну из первых теоретико–множественных формулировок парадоксов дал английский математик Бертран Рассел в письме к Готлибу Фреге: «Будет ли множество M всех множеств, не являющихся своими элементами, своим собственным элементом (MÎM)?» Если MÎM , то по определению множества M оно не должно входить само в себя. В случае MÏM по определению M включение должно быть.

В основе всех рассмотренных парадоксов лежат попытки дать описание логических свойств объекта через сам объект. При этом возникают своего рода «логические кольца». Потенциальная возможность их заложена в самом интуитивном определении множества и его элементов (параграф 1.1), в котором данные понятия взаимосвязано выражаются одно через другое.

Для устранения парадоксов Б. Расселом предложена теория классов, в которой множества строятся по шагам и если построение множества еще не завершено, то его еще нельзя использовать как целостный элемент самого себя.

Второй путь заключается в использовании аксиоматического подхода, при котором вводятся ограничения на свойства множеств, позволяющие избежать появления парадоксов. Обычно используется система аксиом Цермело–Френкеля. Но существуют и другие системы.