Пример 1. 1. АÈВÇС — формула множества, которую с учетом введенного старшинства операций следует понимать как АÈ(ВÇС).

1. АÈВÇС — формула множества, которую с учетом введенного старшинства операций следует понимать как АÈ(ВÇС).

2. С Ø А — запись не является формулой множества, так как в ней одноместная операция дополнения соединяет два множества.

Для наиболее полной характеристики содержательного смысла формулы составного множества F, в которую входят простые множества А₁, А₂,…, А_n, рассмотрим множество {R} всех возможных пересечений простых множеств либо их дополнений {А₁^a1Ç А₂^a2Ç…Ç А_n ^an}, где a_{i =} 0или1, А_i¹= А_i, А_i⁰= ØА_i. Представляя вектор индексов (a₁,a₂,…,a_n) в виде записи двоичного числа N в промежутке от 0 до 2ⁿ–1, упорядочиваем по возрастанию этих чисел все элементы {R}. Назовем их элементарными пересечениями. Эти пересечения для двух и трех простых круговых множеств даны в виде диаграмм Венна на рис. 1.2.

Рис.1.2

Диаграммы Венна для заданного числа исходных множеств, на которых показаны все их возможные элементарные пересечения, назовем полными диаграммами пересечений. Такие диаграммы с круговыми изображениями исходных множеств могут быть построены только для двух и трех множеств (рис.1.2). При четырех и выше необходимо использовать вместо кругов более сложные фигуры.

Таблицы с упорядоченными по возрастанию чисел N элементарными пересечениями для двух и трех простых множеств имеют вид:

Любой формуле составного множества F(А₁, А₂,…, А_n) можно взаимно однозначно поставить в соответствие вектор, отражающий вхождение в него элементарных пересечений {R}. Назовем его вектором включений. Если формула имеет сложный вид, построение данного вектора можно проводить поэтапно. При объединении двух множеств в итоговом векторе включений учитываются единицы из обоих векторов, при пересечении остаются только единицы, входящие одновременно в оба вектора. При применении отрицания в векторе происходит замена 0 на 1 и 1 на 0. При вычитании А\В в итоговый вектор включают 1 только в том случае, когда в векторе А стоит 1, а векторе В — 0.

Пример 2.Построить векторы включений для составных множеств, заданных на простых множествах А и В следующими формулами: 1) F₁ = Ø (АÈВ), 2) F₂ = Ø(АDВ), 3) F₃ = АÇВ È Ø(АÈВ). Результаты привести в таблице.

Решение. При определении векторов включений используем старшинство операций. Вектор для F₁ строим поэтапно, используя объединение АÈВ. Вектор включений для F₂ находим с использованием формулы АDВ =( А\В) È (В\А) . В случае F₃ рассматриваем предварительно векторы формул АÇВ, АÈВ и Ø (АÈВ).

Данную конструкцию назовем таблицей пересечений.

ЗАДАЧИ

1. Определить, будут ли следующие выражения формулами множеств:

а) АÇС\; б)Ø А È Ø В; в) Ø (Ø АDC); г) Ç С?

2. Указать очередность выполнения операций в формулах:

а) Ø А D Ø ВÈС; б) Ø А ÇØ С; в) АÈВÇСÈD.

3. Построить таблицы пересечений и изобразить все элементарные пересечения на полных диаграммах пересечений для составных множеств, заданных формулами:

а) (АDВ)\С; б) Ø(АÈВÈС) ; в) АÇ (В È С) ; г) (АDВ) È (А\Ø С) ; д) АÇ ВÇ СÈ(ВD ØС).

4. Привести примеры непустых исходных множеств А, В, С, при которых будет выполняться равенство составных множеств:

а) АDВ и АÈВ; б) А \ ( ВÈС) и А\В.

1.6. Операции сравнения — логические операции
с множествами

Определение. Два множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается равенство как А=В.

Если все элементы множества А принадлежат множеству В
("а Î А Þ а Î В), то говорят, что А нестрого включается в В. Обозначают как А Í В.

Если АÍВ, но А¹В, то имеет место строгое включение, которое обозначают как АÌ В.

Операции равенства нестрогого и строгого включений (=; Í; Ì) называют операциями сравнения.