Элементы и множества

Раздел I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. комбинаторика

Любая теория предназначена для изучения свойств некоторого набора (множества) абстрактных объектов, моделирующих изучаемую реальную среду. Теория множеств рассматривает общие количественные и структурные свойства таких конечных и бесконечных наборов, а также операции с множествами.

Количественные характеристики конечных множеств, являющиеся наиболее существенными при решении многих практических задач, являются предметом комбинаторики.

Глава 1. МНОЖЕСТВА, ОПЕРАЦИИ С НИМИ. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ

Элементы и множества

Понятия множества и его элемента первичны, поэтому их нельзя строго выразить через термины, введенные в других дисциплинах. Интуитивно множество можно определить как совокупность объектов (элементов), имеющих некоторые общие свойства, представляющие интерес для их изучения, например, множество студентов университета, множество всех натуральных чисел, множество вещественных чисел на всей числовой оси и т.д. Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами без индексов и с индексами (А, В, С, А₁, С_i), их элементы — прописными буквами (также без индексов и с индексами). Включение элемента a₁ в множество А обозначают следующим образом: a₁ Î А .

Объекты, рассматриваемые в качестве элементов множеств, могут иметь самую различную природу, быть абстрактными и реальными: числа, геометрические фигуры, предметы окружающей среды, люди и т. д. Особую роль в теории множеств играют пустое и универсальное множества.

Определение. Пустым называется множество, не содержащее элементов. Обозначается оно Æ.

Определение. Допустим, рассматриваются множества, состоящие из объектов некоторого вида. Универсальным называется множество U, содержащее полный набор таких объектов.

По числу элементов множества делят на конечные (с ограниченным числом элементов) и бесконечные (с неограниченным числом элементов).

Для конкретного множества А универсальное множество U, как правило, можно принять не единственным образом.

Пример 1. Универсальное множество U = R = (–¥, +¥)составляютвсе вещественные числа. Выделим в нем следующие множества:

1) R⁺=(0, +¥) — множество всех положительных вещественных чисел,

2) R^–=(–¥, 0) — множество всех отрицательных вещественных чисел,

3)`R⁺ =[0,+¥) — множество всех неотрицательных вещественных чисел,

4)`R^– =(–¥, 0] — множество всех неположительных вещественных чисел.

Все рассмотренные множества бесконечны.

Пример 2. Универсальное множество U =`R⁺ —совокупность всех неотрицательных вещественных чисел. Выделим в нем следующие множества:

1) Е₂={0, 1}—множество из двух чисел: 0 и 1;

2) N ={1, 2,3,…}—множество натуральных (положительных целых) чисел;

3) `N ={0, 1, 2, 3, …}— расширенное множество натуральных чисел;

4) Р ={1, 2, 3, 5, 7, 11, …}—множество положительных простых чисел (делящихся нацело только на себя и на единицу).

Первое множество конечно, так как в нем всего два элемента, остальные бесконечны. В качестве U для 1) — 4) можно было бы принять множество R всех вещественных чисел.

Пример 3. Универсальное множество С ={множество всех окружностей на декартовой плоскости Оху}. На нем можно рассмотреть множества С(а,b) окружностей с общим центром в точке с координатами (х = а, y = b). Каждое из них бесконечно, поскольку их элементы однозначно характеризуются радиусами R, а множество {R}=`R⁺ — бесконечно.

Пример 4. Пусть А — это множество студентов внекоторой группе. Данное множество конечно. По отношению к А в качестве универсального могут быть приняты следующие более широкие множества:

1) U₁ ={множество всех студентов данного факультета};

2) U₂ ={множество всех студентов вуза}и т. д.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называют множество, обозначаемое А´В и состоящее из всех возможных пар (а,b), где аÎА, bÎВ. Степенью n множества А называют декартово произведение А´А´…´ А, куда А входит n раз. Обозначается оно Аⁿ.

Пример 5. А ={0,1}, B={a,b}.

А²={(0,0); (0,1); (1,0); (1,1)}; А´В = {(0,a); (0,b);(1,a); (1,b)};

В´А = {(a,0); (a,1); (b,0);(b,1)}; B² ={(a,a); (a,b); (b,a); (b,b)}.

Как видно из примера 5, декартово произведение не коммутативно: в нем нельзя переставлять местами различающиеся сомножители.

Пример 6. С помощью степеней множества всех вещественных чисел R удобно задавать декартовы координаты точек в многомерных пространствах:

1) R² ={(x,y), xÎR, yÎR} — множество декартовых координат всех точек на плоскости;

2) R³={(x,y,z), xÎR, yÎR, zÎR} — множество декартовых координат точек в трехмерном пространстве.

Рассмотрим соотношения между множествами с точки зрения сходства элементов, входящих в них.

Определение. Множество В называют равным множеству А, если оба множества состоят их одинакового набора элементов. Обозначается равенство, как и в случае чисел: В = А.

Пример 7.Множество всех натуральных чисел равно множеству всех положительных целых чисел.

Определение. Множество В называют подмножеством множества А (множество В входит в множество А), если все элементы множества В входят в множество А.

Включение множества В в множество А может быть двух видов. Рассмотрим их.

1. Если помимо элементов множества В в множестве А есть и другие элементы (множество А ”больше” множества В), то данное включение множества В в множество А называют строгим и обозначают: ВÌ А.

2. Если наряду со строгим включением множества В в множество А (В Ì А) возможно и равенство этих множеств (В = А), то такое включение называют нестрогим и обозначают: В Í А.