Справедлива (доказательство опускаем) следующая

ТеоремаВсякая правильная несократимая рациональная дробь может

быть представлена как сумма конечного числа простейших рациональных дробей, а именно

если (2)

то дробь может быть представлена в виде:

(3)

На практике эту теорему применяют следующим образом. Каким – либо образом знаменатель дроби Q(x) представляют в виде (2), причём квадратные трёхчлены имеют дискриминанты отрицательные и потому уже не могут разлагатся в произведение линейных множителей с действительными коэффициентами. Затем пишут для дроби

соответствующее разложение (3) с буквенными коэффициентами A,A₁, … L_n-1,

S_n-1. Эти коэффициенты определяют по методу неопределённых коэффициентов.Равенство (3) есть тождество, поэтому, приведя дроби справа к наименьшему общему знаменателю (он, очевидно будет равен Q(x)), получают тождественное равенство числителей, двух многочленов – P(x)и того, который получится справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x,получают систему линейных уравнений относительноA, A₁, A₂, … L_n-1, S_n-1,из которой их и определяют.

Замечание 1.Уравнение для определения коэффициентов можно получать и другим способом. Т. к. полученное равенство числителей есть тождество, то давая xконкретные (удобные!) значения, имеют необходимые уравнения для определения этих коэффициентов (более простые, чем в описанной выше системе).

Замечание 2. Из выше изложенного следует такой вывод: неопределённый интеграл от рациональной функции всегда может быть выражен через конечное число элементарных функций.

Примеры 1)Вычислить интеграл

Подинтегральная функция f(x) является правильной рациональной дробью. Знаменатель уже разложен в произведение простых (неприводимых) множителей, т. к. x² + 2не имеет действительных корней /x_1,2 = ± i Ö2/.

Приведём дроби справа к наименьшему общему знаменателю и приравняем числители:

x³ + 4x² + 6 º A(x² + 2) + B(x +1)(x² + 2) + (Cx + D)(x +1)². (4)

или x³ + 4x² + 6 = (B + C)x³ + (A + B + 2C +D)x² + (2B + 2D + C)x + (2A + 2B + D).

Приравнивая коэффициенты при x³, x², x¹, x⁰,получим систему четырёх линейных уравнений с четырмя неизвестными A, B, C, D:

(5)

Ещё из тождества (4) при удобном значении x = – 1получаем дополнительное простое уравнение: 3A = 9, откуда A = 3

Последующее решение системы (5) даст: B = 1/3, C =2/3, D = –2/3

Итак,

2)Вычислить самостоятельно

Ответ: