Интегрируя почленно это равенство, получим

uδ =òudδ + òδdu.

или òudδ = uδ – òδdu. (2).

Формулу (2) и называют формулой интегрирования по частям.Она заменяет вычисление данного интеграла òudδвычислениемòδdu (uδ –это уже часть ответа) и её применение оправдано, если этот новый интеграл вычисляется проще. Разбиение подинтегрального выражения в данном интеграле на два множителя uи dδзависит от вида этого выражения и определённого навыка, приобретаемого через решение достаточного количества примеров (dx, конечно, всегда входит в dδ). Рассмотрим некоторые особенности применения формулы (2) на конкретных примерах.

1) I =òx ln x dx = ?Итак

Положим u = ln x dδ = xdx

Замечание.Когда мы определяем δ по dδ, можно брать С = 0, т. к. дальнейшие вычисления будут проще, а окончательный результат (значение I) не пострадает, потому что произвольная постоянная С появится там вместе с вычислением δdu.

2).

u = x² du₁ = dx

dδ = e^xdx δ₁ = e^x =e^x(x² – 2x–1) + C.

Как мы видим, в одном примере можно применять формулу (2) несколько раз.

Метод интегрирования по частям применяется часто. Именно по частям вычисляются неопределённые интегралы вида:

òx^ksin(ax)dx, òx^kcosaxdx, òx^ke^axdx, òx^ka^bxdx, /u=x^k,нужно прим. ф-лу (2) k раз/.

òx^kln(ax)dx, òx^karcsin x dx, òx^karccos xdx, òx^karctg x dx, òx^karcctg x dx

/u = ln axилиu = arcsin x,…/

3)

u = arccos x

dδ = dx

4). I = òe^xsin x dx = – e^xcos x + òe^xcos x dx = – e^xcosx +[e^xsin x – òe^xsin x dx]=

= e^x(sin x – cos x) – I

u = e^x du = e^xdx u₁ = e^x du₁ = e^xdx

dδ = sin x dx δ = – cos x dδ₁ = cos x dx δ₁ = sin x

Выражая Iиз полученного (подчёркнутого) равенства, мы окончательно получим:

2 I = e^x(sin x – cos x) и I = ½ e^x(sin x – cos x)

Возникшую после двухкратного применения формулы (2) ситуацию обычно называют приведением интеграла к самому себе.

5).Самостоятельно вычислить неопределённые интегралы.

а) I = òx arctg x dx Ответ: I = ½[(x² +1)arctg – x] + C.

б) I = ò(x² + 7x – 5)cos 2x dx

Ответ:

/Указание: u = x² + 7x – 5/

c) Ответ:

/Указание: дважды/.

§4. Некоторые общие замечания об интегрировании функций.

Мы уже отмечали (пока без доказательства), что всякая непрерывная функция является интегрируемой, т. е. Неопределённый интеграл òf(x)dx = F(x) + Cсуществует. Однако, далеко не всегда первообразная F(x) может быть выражена некоторой элементарной функцией. Часто в таких случаях говорят, что неопределённый интеграл “не берётся в конечном виде”. Примерами “неберущихся” интегралов могут служить

,òsin(x²)dx, òcos(x²)dx.

и многие другие. Эти первообразные функции существуют, но, не являясь элементарными функциями, очевидно представляют функции иной природы. Некоторые из этих неэлементарных функций часто используются на практике и хорошо изучены, табулированы. Некоторые даже получили специальные обозначения и названия:

– интегральный синус, – интегральный косинус,

– интегральный логарифм, –

эллиптический интеграл.

С помощью первообразной Лаплас определил “свою” функцию

/функцию Лапласа/

Она имеет широкие применения в теории вероятностей. Можно утверждать, что большинство первообразных не выражаются через конечное число операций над элементарными функциями (не берутся в конечном виде).

Поэтому очень важно определить и изучить те классы функций, первообразные от которых являются элементарными функциями (берутся в конечном виде).Наиболее простым и важным таким классом являются рациональные функции.

§5. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией называется функция, являющаяся отношением двух многочленов (полиномов):

Если Q(x) ≡ 1, то f(x) = P(x) , т.е. многочлен является частным случаем рациональной функции – целая рациональная функция.Рациональную функцию (1) /Q(x)≢1/ называют дробно-рациональной функцией(или рациональной дробью).

Без ограничения общности можно считать, что многочлены P(x) и Q(x) не имеют одинаковых нулей (корней), т. к. в противном случае можно сократить дробь (1) на общие множители.

Рациональною дробь (1) называют правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя, т. е. n < m. Если же n ≥ m, (1) называется неправильной.

Если рациональная дробь (1) неправильная, то её можно всегда представить в виде суммы целой рациональной функции (целой части) и правильной рациональной дроби. /например, деля числитель на знаменатель как два полинома/:

Интегрирование полинома не составляет труда, поэтому будем рассматривать

полагая P(x)/Q(x)правильной.

1.Изучим сначала интегрирование простейших (элементарных) рациональных дробей.

Определение.Правильные рациональные дроби вида

I.

II. /k –натуральное число ≥ 2/,

III. /знаменатель не имеет действительных корней, т. е.

; A, B, a, p, q –действительные числа /,

IV. /k –натуральное число ≥ 2;знаменатель не имеет действительных корней/,

называются соответсвенно простейшими рациональными дробями I, II, III и IVтипов.

Интегрирование дробей первых трёх типов осуществляется просто.

/см. §3/.

Интегрирование простейших дробей IV типа осуществляется таким же методом, но выкладки значительно сложнее. Мы в этом же параграфе рассмотрим метод Остроградского, который позволит интегрировать любые рациональные дроби, применяя интегралы только от простейших дробей первых трёх типов.