Производные обратной и сложной функций.

Теорема 4. (О производной обратной функции).

Если для функции у= ¦(х) существует обратная функция х= j(у), которая в некоторой точке у имеет производную j^,(у) ¹0, то в соответствующей точке х функция у= ¦(х) имеет производную ¦^,(х) равную 1/ j^,(у), т.е. ¦^,(х)= 1/ j^,(у).

Доказательство: рассмотрим функцию х= j(у), дадим аргументу у приращение _Dу¹0, тогда функция х получит приращение _Dх= j(у+ _Dу)- j(у); _Dх¹0, так как если бы _Dх=0, то х + _Dх=х и _Dу= ¦(х+_Dх )- ¦(х)=0, чего нет.

Тогда _Dу/ _Dх= 1/ (_Dх/ _Dу); (1)

Так как функция j(у) имеет производную, то она непрерывна в точке у, но тогда при _Dу®0 и _Dх®0.

Перейдем к пределу при _Dу®0:

lim_Dх_®0(_Dу/ _Dх)= lim_Dу_®0(1/ (_Dх/ _Dу))= 1/lim_Dy_®0(_Dх/ _Dу)= 1/ x’ y,

т.е. y’ x=1/x’ y , или f’(x)=1/j’(у)

Теорема 5. (производная сложной функции).

Если функция u = j(х) имеет в некоторой точке х производную u^,_х = j^,(х), а функция у= ¦( u) в соответствующей точке u = j(х) производную у^,= ¦^,(u), то и сложная функция у= ¦[j(х) ] в точке х имеет производную, равную произведению производных функции ¦( u) и j(х):

[¦(j(х))]^,= ¦^,_u(j(х))· j^,_х(х) или короче у^,_х= у^,_u· u^,_х.

Коротко: производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную промежуточного по основному.

Доказательство: дадим х приращение _Dх. Тогда функция u получит соответствующее приращение _Du. В свою очередь функция у получит приращение _Dу. Причем, при _Dх®0 и _Du ®0 и _Dу®0. Так как

lim _Du ®0 (_Dу/_Du )= ¦ ’(u), то _Dу= ¦^,(u) _Du+ _Du, где ®0 при _Du ®0.