Формула Тейлора

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка до включительно, (т.е. все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, причём .

Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Представим функцию в виде некоторого многочлена , значение которого в точке равно значению функции , а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке :

.

Чем больше значение , тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он определяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке и составляем систему уравнений:

Решение этой системы при не вызывает затруднений, получаем:

,

,

,

,

…………………….

.

Подставляя полученные значения в формулу ( ), получи:

.

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией , т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину .

Тогда:

.

Теорема доказана.

Иногда используется другая запись для остаточного члена . Тавк как точка , то найдется такое число q из интервала , что . Тогда можно записать:

Тогда, если принять , , , формулу Тейлора можно записать в виде:

где . Если принять , получим:

.

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.