Непрерывность функции в точке

Определение. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны:

Тот же факт можно записать иначе: .

Определение. Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в самой точке , то она называется разрывной функцией в этой, а сама точка называется точкой разрыва этой функции.

Пример непрерывной функции:

y

x

Пример разрывной функции:

y

x

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что для любых , удовлетворяющих условию

,

выполняется неравенство

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке является величиной бесконечно малой в этой точке:

где – функция бесконечно малая при .

Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что она непрерывна на множестве .

Непрерывная функция изображается на графике непрерывной кривой.