Основные свойства функций. Функция с областью определения называется четной (нечетной), если для любого , выполняется равенство:
Функция с областью определения называется четной (нечетной), если для любого , выполняется равенство:
.
Функция с областью определения называется периодической, если существует действительное число такое, что, если и , то
для любого .
Наименьшее из таких чисел называется периодом функции .
Например, функции являются периодическими с периодом , а функции - также периодические, но с периодом .
Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых из А таких, что , выполняется неравенство
.
Функция возрастающая (убывающая) на множестве А называется монотонной на этом множестве.
Пусть - монотонная функция на множестве и - множество ее значений.
Функция с областью определения называется обратной по отношению к функции , если для любого из
.
Из этого определения следует, что график обратной функции получается симметрированием графика данной функции относительно биссектрисы 1го и 3го координатных углов.
Например, функций и – взаимно-обратные.
Пусть - функция с областью определения , а - функция с областью определения . Обозначим через множество тех значений аргумента , для которых . Тогда говорят, что на множестве определена сложная функция
.
Окрестностью точки называется всякий открытый интервал с центром в точке ; - окрестностью точки называется интервал .
Пусть - функция с областью определения . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует -окрестность точки такая, что для всех из этой -окрестности выполняются неравенства:
(от лат. maximum - наибольшее, minimum - наименьшее).
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (от лат. extremum - крайнее), а значения функции в этих точках - экстремумами функции.
В точках экстремума функция меняет область своего возрастания (убывания) на область убывания (возрастания), т.е. в окрестности точки максимума график функции - «холм», а в окрестности точки минимума - «впадина».
Наибольшим (наименьшим) значением функции в области называется такое число (число ), что для всех из . Если функция задана на отрезке и ее график в каждой внутренней точке имеет единственную касательную, то наибольшее (наименьшее) значение функции на есть максимальное (минимальное) из чисел , и значений функции во всех точках максимума (минимума) этой функции.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 891;