СХЕМА 3 6 страница

(32)

Так, для вышеприведенного примера он равен

Множественный коэффициент корреляции показывает, что включе­ние признаков и в уравнение

на 32% объясняет изменчивость результатирующего фактора. Чем больше , тем полнее независимые переменные описы­вают признак у. Обычно R служит критерием включения или ис­ключения новой переменной в регрессионное уравнение. Если R мало изменяется при включении новой переменной в уравнение, то такая переменная отбрасывается.

Корреляционное отношение. Наиболее общим показателем связи при любой форме зависимости между переменными является корре­ляционное отношение . Корреляционное отношение опреде­ляется через отношение межгрупповой дисперсии к общей диспер­сии по признаку y:

(33)

где — среднее значение i-го у-сечения (среднее признака у для объектов, у которых = т. е. столбец «i»); — среднее значе­ние i-го x-сечения (т. е. строка «i»); —число наблюдений в у-сечении; — число наблюдений в x-сечении; — среднее зна­чение у.

Величина показывает, какая доля изменчивости значений у обусловлена изменением значения х. В отличие от коэффициента корреляции не является симметричным показателем связи, т. е. . Аналогично определяется корреляционное отношение х по у[95].

Пример. По данным таблицы сопряженности (табл. 9) най­дем .

Вычислим общую среднюю

Тогда

Сравнение статистических показателей r и . Приведем сравнительную характеристику коэффициента корреляции (будем срав­нивать r²) и корреляционного отношения :

а) r² = 0, если х и у независимы (обратное утверждение не­верно);

б) r² = = 1 тогда и только тогда, когда имеется строгая ли­нейная функциональная зависимость у от х;

в) r² = <1 тогда и только тогда, когда регрессия х и у стро­го линейна, но нет функциональной зависимости;

г) r²< <1 указывает на то, что нет функциональной зави­симости и существует нелинейная кривая регрессии.

Таблица 9.Вычисление

Середина интервала	Середина интервала

Коэффициенты взаимозависимости для порядкового уровня из­мерения. К этой группе относятся коэффициенты ранговой корреля­ции Спирмена , Кендалла и . Коэффициенты ранговой корре­ляции используются для измерения взаимозависимости между ка­чественными признаками, значения которых могут быть упорядоче­ны или проранжированы по степени убывания (или нарастания) данного качества у исследуемых социальных объектов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена . Этот коэффи­циент вычисляется по следующей формуле:

где — разность между i-ми парами рангов; l — число со­поставляемых пар рангов. Величина может изменяться в преде­лах от +1 до—1, когда два ряда проранжированы в одном поряд­ке. При полном взаимном беспорядочном расположении рангов равен нулю.

Пример. По данным табл. 10 выясним, в какой степени связаны жизненные планы детей, отличающихся по социальному происхож­дению. Для этого проранжируем значения процентных распределе­нии для каждой из двух групп детей.

В графе «из крестьян» (табл. 10) встречаются два одинаковых числа (51, 0). В подобных случаях обоим числам присваивают ранг, равный среднему арифметическому из этих рангов, т. е. (3 + 4)/2 = 3,5. Подставляя промежуточные величины, вычисленные в табл. 10, в формулу (34), находим[96]

Такую величину можно интерпретировать как высокую сте­пень связи между жизненными планами детей рабочих и крестьян. Однако большая величина не должна скрывать тот факт, что жизненные планы молодежи в табл. 10 распадаются на две груп­пы. Для одной группы (нижняя часть таблицы) ранги полностью совпадают, а для другой (верхняя часть) — нет.

Таблица 10^*

Жизненные планы	Социальное происхождение	Ранг I	Ранг II
из рабочих	из крестьян
Получить высшее образование Получить интересную любимую работу Побывать в других странах Создать себе хорошие жилищные условия Добиться хорошего материального обеспечения Повысить свою квалификацию Получить среднее образование Поехать на одну из новостроек	57,5 57,3   53,8 49,7   48,5   42,0 22,6 19,4	51,0 59,0   52,0 51,0   50,0   45,0 32,0 25,0		3,5   3,5	-2,5   0,5	6,25   0,25

^* Лиеовский В. Эскиз к портрету. М., 1969, с. 42. Распределение респондентов в таблице при­ведено в процентах к численности групп из рабочих, из крестьян соответственно. По­скольку респонденты могли выбирать при опросе более чем один жизненный план, то сумма по столбцам не равна 100%.

Если подсчитать для каждой группы отдельно, то в первом случае, очевидно, = 1, а во втором = 0,15, но статистически не­значимо отличается от 0.

Значимость коэффициента корреляции Спирмена для l£100 можно определить по табл. Г приложения, где приведены крити­ческие величины .

Если l>100, то критические значения находятся по табл. А приложения. Наблюдаемые значения критерия вычисляются по формуле

. (35)

Например, возвращаясь к данным табл. 10, где l<100, по табл. Г приложения найдем, что для того, чтобы был значим на уровне 0,01, он должен быть равен или превосходить 0,833. Эмпирическое значение = 0,9, и поэтому делается вывод, что имеется значимая связь между предпочтениями жизненных планов двух групп рес­пондентов. Аналогичным образом легко убедиться, что = 0,15 при l = 4 статистически незначим.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Подобно , ко­эффициент Кендалла используется для измерения взаимосвязи между качественными признаками, характеризующими объекты од­ной и той же природы, ранжированные по одному и тему же критерию изменяется от +1 до —1.

Для расчета используется формула

(36)

Как вычисляется S, поясним на примере данных табл. 10.

Таблица упорядочена так, что в графе «Ранг I» ранги расположились в порядке возрастания их значений. Берем значение ранга, стоящего в графе Ранг II на первом месте, 3,5; из расположен­ных ниже данного ранга семи других четыре значения его превы­шают, а два — меньше его. Число 4 записывается в графу , а 2 в колонку . Аналогичный подсчет делается для второго ранга со значением 1. Число рангов, расположенных ниже данного значения и превышающих его, равно 6, а число рангов, меньших данного,— 0 и т. д. Остальные вычисления ясны из следующей таблицы:

Тогда, подставив соответствующие значения в формулу (36), по­лучим

Таким образом, дает более осторожную оценку для степени связи двух признаков, чем .

При расчете не учитывались равные ранги. Например, в табл. 10 имеются два равных ранга со значением 3,5. Если число равных рангов велико, то необходимо вычислить по следующей формуле:

(37)

где ( — число равных рангов по первой пере­менной); ( — число равных рангов по второй переменной). Для предыдущего примера = 1, = 2, тогда = 0, = 1.

Значимость коэффициента корреляции Кендалла при l>10 определяется по формуле

(38)

Гипотеза о том, что = 0, будет отвергнута для данного a если .

Для вышеприведенного примера

По табл. А приложения для a = 0,05 находим , равное 1,96. Поскольку расчетное значение Z = 2,84 и, следовательно, боль­ше заключаем с вероятностью 95%, что

Коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла используются как меры взаимозависимости между рядами рангов, а не как меры связи между самими переменными. Так, в табл. 10 ранги отражают иерархию жизненных планов, но совершенно не говорят о том, что дети рабочих почти в равной мере хотят получить как высшее образование, так и интересную работу (разница 0,2%), а дети крестьян в большей степени стремятся к высшему образованию (разница 8%). Кроме того, какая-нибудь из групп респондентов может считать, что выделенные категории вообще не отражают их жизненных планов, но проранжировали предложенные варианты. Если для целей исследования можно предположить эти моменты несущественными, то оправданно применение ранговой корреляции.

Коэффициенты Спирмена и Кендалла обладают примерно оди­наковыми свойствами, но т в случае многих рангов, а также при введении дополнительных объектов в ходе исследования имеет определенные вычислительные преимущества[97].

Другая мера связи между двумя упорядоченными переменны­ми — у. Она, так же как и предыдущие коэффициенты, изменяется от +1 до —1 и может быть подсчитана при любом числе связанных рангов. Формула для вычисления записывается в виде

Для иллюстрации правил вычисления , по сгруппированным дан­ным обратимся к примеру (табл. 11).

Таблица 11. Распределение ответивших на вопрос: «Устраивает ли Вас Ваша настоящая работа» — в зависимости от стажа работы в бригаде

Процесс вычисления и наглядно представлен па схеме (схема 2).

+

+

+

+

СХЕМА 2. Схема вычисления и

Так:

Подставляя эти величины в формулу для , находим

Проверку статистической значимости проводят по формуле

Гипотеза H₀ о равенстве нулю коэффициента отвергается, если . Для наших данных

Для a = 0,05 по табл. А приложения . Таким обра­зом, , и, следовательно, у нас нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀: = 0, т. е. лишь в 5 % случаев следует ожидать, что будет отличен от нуля.

Множественный коэффициент корреляции W. Этот коэффициент, иногда называемый коэффициентом конкордации, используется для измерения степени согласованности двух или нескольких рядов проранжированных значений переменных.

Коэффициент W вычисляется по формуле

где k — число переменных; п — число индивидов или категорий, которые ранжируются; (сумма рангов по строке — а)²; а - среднее из суммы рангов.

Таблица 12. Вычисление множественного коэффициента ранговой корреляции

Респондент	Удовлетворенность по признакам А, Б, В	Сумма рангов
А	Б	В
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й
n = 5

Для данных табл. 12 а = 45/5 = 9;

Значимость полученной величины W для п>7 проверяется по критерию .

(41)

со степенью свободы n—1. Для примера = 10,133, степень свобо­ды (n—1) = 4. Для a = 0,05 из табл. Б приложения находим = 9,488. Поскольку наблюдаемое значение больше критической точки, отвергаем гипотезу о том, что не существует значимой связи между рассматриваемыми переменными[98].