Принципы построения конечно-элементных моделей

Любая строительная конструкция представляется в виде расчетной схемы. Расчетная схема выступает в виде идеализированной модели.

Модель разбивается на конечные элементы. В результате такой разбивки появляются узлы, которые указывают на соединение элементов. В опорные узлы вводятся соответствующие связи, которые обеспечивают соединение с неподвижным основанием. Нумерация узлов и элементов определяет последовательность задания исходной информации и чтение результатов счета. Конечные элементы, имеющие одинаковые жесткостные характеристики, объединяются по типам жесткости.

Координаты расчетной схемы

Расчетная схема располагается в правой декартовой системе координат X, U, Z. Для фиксации местоположения конечного элемента в схеме служит местная система координат – X1, U1, Z1. Местная система координат необходима для ориентации местной нагрузки, главных осей инерции в сечении стержня, усилий и напряжений, возникающих в элементе.

Каждый узел схемы имеет свою локальную систему координат – X2, U2, Z2, которая является правой декартовой, как и местная система. По умолчанию локальная система координат узла совпадает с глобальной.

Локальная система координат узла позволяет задавать нагрузки и заданные перемещения в направлении, не совпадающем с глобальными осями.

Каждый узел схемы в общем случае имеет 6 степеней свободы: три линейных перемещения вдоль осей X или X2; U или U2; Z или Z2 и три поворота вокруг X или X2, U или U2, Z или Z2.

Для расчетных схем, в которых количество степеней свободы в узле заведомо меньше 6 (плоские фермы, плоские рамы и т.п.), применяется так называемый признак схемы. В ПК “ЛИРА” задействованы пять признаков схемы. Признак 1 – 3 – для двухмерных задач, а признак 4 и 5 – для трехмерной задачи.

Признак 1 – схемы, располагаемые в плоскости XOZ; каждый узел имеет 2 степени свободы - линейные перемещения вдоль осей X, Z или X2, Z2. В этом признаке схемы рассчитываются плоские фермы и балки-стенки.

Признак 2 – схемы, располагаемые в плоскости XOZ; каждый узел имеет 3 степени свободы – линейные перемещения вдоль осей X, Z или X2, Z2 и поворот вокруг оси Y или Y2. В этом признаке схемы рассчитываются плоские рамы и допускается включение элементов ферм и балок-стенок.

Признак 3 – схемы, располагаемые в плоскости XOY; каждый узел имеет 3 степени свободы – линейное перемещение вдоль оси, Z или Z2 и повороты вокруг осей X, Y или X2, Y2. В этом признаке рассчитываются балочные ростверки и плиты; допускается учет упругого основания.

Признак 4 – пространственные схемы, каждый узел которых имеет 3степени свободы – линейные перемещения вдоль осей X, Y, Z или X2, Y2, Z2. В этом признаке рассчитываются пространственные фермы и объемные тела.

Признак 5 – пространственные схемы общего вида с 6 степенями свободы в узле. В этом признаке схемы рассчитываются пространственные каркасы, оболочки и допускается включение объемных тел, учет упругого основания и т.п.

Граничные условия в расчетной схеме могут быть заданы непосредственно на узел, а также смоделированы при помощи связей конечной жесткости.

Построение расчетной модели

Представляя расчетную схему сооружения в виде конечно-элементной модели, пользователь всегда стремится достичь компромисса между двумя противоречивыми желаниями: получить как можно более точное решение задачи и за короткое время. Желательно также получить обозримый объем результатов. Для достижения такого компромисса необходимо уметь оценивать оба указанных фактора. Так, время решения задачи легко прогнозируется по количеству узлов, элементов, загружений, а также быстродействию компьютера. ПК “ЛИРА” автоматически дает прогноз времени решения задачи для всех этапов расчета. Однако оценка точности решения задачи является вопросом очень сложным, так как зависит от многих слабо формулируемых факторов:

· густота сетки– с одной стороны, сгущение сетки повышает точность, с другой – неограниченное сгущение может повлечь слабую обусловленность матрицы канонических уравнений и потерю точности;

· физико-механические свойства расчётной модели– расчетная схема может быть близка к геометрически изменяемой, содержать элементы с сильно различающимися жесткостями, что также влечет за собой потерю точности;

· геометрия конечных элементов– если стороны элементов сильно различаются по длине, то это приведет к плохой обусловленности

матрицы накопленных уравнений и также к потере точности;

· свойство конечных элементов– использование высокоточных элементов часто приводит к более точному решению, чем использование простых элементов на значительно более густой сетке.

Назначение сетки надо проводить на основе многих факторов. Так, например, густоту сетки предпочтительно увеличивать только в местах предполагаемого большого градиента напряжений (входящие узлы, места сосредоточенных нагрузок и т.п.). Кроме того, знание свойств конечных элементов также часто помогает рационально построить конечную модель.

Иногда приходится решать большие задачи, в которых густая сетка недопустима из-за ограниченных ресурсов компьютера, а укрупненная разбивка не дает достаточно полной картины напряженно- деформированного состояния конструкции. В этом случае предлагается совместить укрупненную и густую сетку.

Решая задачу несколько раз, можно использовать расчет укрупненной схемы с последующей фрагментацией ее частей.

Фрагментация заключается в последовательном вырезании, уменьшении и детальном расчете некой области конструкции. Такой подход применяется при исследовании областей концентрации напряжений – вокруг отверстий, в местах резкого изменения сечений элементов и т.д. Этот подход применим также при решении больших задач. Первоначально рассчитывается схема из укрупненных конечных элементов. Затем вырезаются отдельные фрагменты этой схемы и дробятся более мелко. Расчет фрагмента производится на воздействия, полученные в результате расчета крупной схемы.

Итак, пусть есть абстрактная задача найти некоторую зависимость y от x в интервале от a до b. Можно поступить двояко – 1) искать аналитический вид зависимости в виде функции y=y(x), т.е. в виде некоторой формулы, как например, все делали в школе, когда брали интеграл, или 2) искать функцию в виде набора точек с некоторой нужной или заданной точностью.

Так, например, на рисунке выше показана некоторая искомая функция y=y(x), вместо которой найдена ломаная 1-2-3-4-5-6 без особого ущерба для точности. Понятно, что чем в большем числе точек искать значение функции, тем точнее будет результат ее представления ломаной. А методы, которые вместо аналитической зависимости находят искомую функцию (или много функций) в виде конечного числа точек (чисел), называются численными.

Введение в метод конечных элементов

В реальных конструкциях почти всегда присутствуют сложные формы, состоящие к тому же из различных материалов. В качестве примера рассмотрим задачи. представленные на рис. 8.2. Рассчитать распределение напряжений в кронштейне (рис. 8.2, о) при помощи аналитических методов крайне сложно. Если же кронштейн изготовлен из композитного материала со сложными свойствами, задача становится практически неразрешимой. Непреодолимые затруднения возникают и при попытке вывести аналитическое выражение для распределения температур в объекте, изображенном на рис. 8.2, б.

Метод конечных элементов, по всей видимости, является наиболее популярным численным методом решения таких задач. Универсальность этого метода удовлетворяет требованиям современных сложных систем конструирования, для которых обычно отсутствуют замкнутые решения уравнений равновесия. Анализ методом конечных элементов начинается с аппроксимации исследуемой области (области задачи) и делении ее на ячейки сетки. На рис. 8.3, а по углам каждой ячейки находятся узлы (черные точки). Такие ячейки и называются конечными элементами. На рис. 8.3, а, б представлены аппроксимации объектов с рис. 8.2, а, б наборами конечных элементов (треугольных и четырехугольных).

В этом примере мы аппроксимировали исходный объект треугольниками и четырехугольниками, однако возможны и конечные элементы других типов. Выбор элементов определяется областью задачи, ее типом, а также конкретным пакетом анализа. Выбор подходящих элементов с нужным количеством узлов из библиотеки доступных элементов является одним из наиболее важных решений, которые приходится принимать пользователю пакета конечноэлементного анализа. Конструктору также приходится задавать полное количество элементов (другими словами, их размер). Общее правило состоит в том, что чем больше количество узлов и элементов (в h-версии) или чем выше степень функции формы (в р-версии), тем точнее оказывается решение, но тем дороже оно стоит с вычислительной точки зрения. Другая проблема — построение сетки, особенно для объекта сложной геометрии. Создание трехмерных сеток конечных элементов обычно представляет собой трудоемкий и кропотливый процесс. Сейчас ведутся активные разработки систем автоматизированного построения сеток, которые могли бы подключаться к системам геометрического моделирования. Такие системы позволили бы полностью интегрировать средства CAM и CAE.

После аппроксимации исходного объекта конечными элементами с должным количеством узлов каждому узлу сопоставляется неизвестная величина, которая ищется в процессе решения задачи. Например, для рис. 8.3, а неизвестными были бы смещения узлов по координатам х и у. Отсюда следует, что у каждого узла будет две степени свободы, а у задачи в целом будет 2п степеней свободы, если число узлов равно п. В разделе 8.2 мы покажем, что смещение в любой точке конечного элемента выводится из смещений его узлов при помощи функций формы, поэтому неизвестными могут быть только смещения узлов. Функции формы служат лишь для того, чтобы вычислять значения неизвестных внутри элемента по заданным значениям на его узлах. После вычисления смещений программа может перейти к расчету деформаций как частных производных от функции смещения, а по деформациям рассчитываются напряжения.

Аппроксимировав область задачи набором дискретных конечных элементов, мы должны задать характеристики материала и граничные условия для каждого элемента. Указав различные характеристики для разных элементов, мы можем анализировать поведение объекта, состоящего из разных материалов. Граничные условия (смещение, внешняя сила или температура) обычно задаются на внешней границе объекта. Эти условия должны быть выражены в виде значений смещения, силы или температуры в граничных узлах некоторых конечных элементов. После задания граничных условий для всех внешних узлов программа конечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую граничные условия с неизвестными (смещениями или температурой в узлах или коэффициентами функции формы в р-версии), после чего решает эту систему относительно неизвестных.

После нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность рассчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемента по той же функции формы, которая использовалась при построении системы уравнений. Выходные данные программы анализа методом конечных элементов обычно представляются в числовой форме. В задачах механики твердых тел выходными данными являются смещения и напряжения. В задачах на тепло перенос выходными данными являются температуры и тепловые потоки через конкретные элементы. Однако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о поведении соответствующих параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи. Анализ поведения параметров может производиться при помощи постпроцессора, который строит кривые и контурные графики переменных по данным программы конечноэлементного анализа. Для задач строительной механики возможно отображение деформированных тел вместе с недеформированными. В этой области для систем автоматизированного конструирования очень важными становятся функции компьютерной графики.

Многие конструкторы страдают чрезмерной верой в мощь этого метода, не имея представления о его ограничениях; они принимают неправильные результаты без тени сомнения. К преимуществам метода конечных элементов относится возможность работы с телами произвольной геометрии и неоднородными материалами. Однако суть метода состоит в делении области задачи на набор конечных элементов и поиске наилучшего решения, непрерывного «внутри» элементов, но имеющего возможность претерпевать скачки на их границах. Например, деформация на границе конечных элементов кронштейна (рис. 8.3, а),может испытывать скачок, невозможный с точки зрения физики. Величина такого скачка часто служит мерой точности решения, полученного методом конечных элементов. Неточности такого рода зависят от количества элементов, их размера и степени функции формы, используемой внутри каждого из элементов.