Модель с дефицитом, когда неудовлетворенные требования ставятся на учет

В случае, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефициты допускаются. При этом требования, поступающие в моменты дефицита, берутся на учет. При прибытии очередной партии поставки сначала удовлетворяется задолженный спрос, а затем остальные требования по мере поступления. Динамика изменения уровня запаса, в предположении что - партия поставки, характеризуется следующим образом.

В начальный момент времени уровень запаса равен максимальной величине наличного запаса , где - величина задолженного спроса. Наличный запас расходуется за время , которое называется временем существования наличного запаса. Затем поступающие требования берутся на учет в течение времени , называемым временем дефицита. При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженный спрос, а затем пополняется запас (см. рисунок 11.3).

Рисунок 11.3

Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, обозначим . Тогда издержки цикла состоят:

· из издержек размещения заказа, не зависящих от величины партии ;

· из издержек на хранение продукции, пропорциональных средней величине запаса и времени его существования ;

· из издержек от дефицита, пропорциональных средней величине дефицита и времени его существования , т.е.

Разделим издержки цикла на его величину и получим издержки работы системы в единицу времени:

. (11.1)

Издержки работы системы в единицу времени являются функцией двух переменных и , т.е. . Применив необходимые условия экстремума функции 2-ух переменных, т. е. вычислив частные производные

и приравняв их нулю, получим систему:

Решив систему, находим оптимальные значения и :

;

Вычислив частные производные второго порядка

и их значения при

составим выражение

Так как > 0 и , то при и издержки достигают минимального значения.

Подставив найденные значения и в формулу (11.1), найдем минимальные издержки работы системы:

Зная оптимальные значения и , найдем:

-максимальный уровень наличного запаса

- время существования наличного запаса

- время существования дефицита

- длину цикла

Отметим, что в рассматриваемой модели

Кроме того, при высоких штрафах за дефицит, когда , рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона. Когда неудовлетворенные требования ставятся на учет, точка заказа может быть рассчитана по формуле:

Поскольку может быть отрицательной величиной, то заказ должен размещаться в момент, когда величина требований, поставленных на учет, равна .

Пример 11.2. Спрос на продукцию составляет 1900 тонн в год. Стоимость хранения, включая потери от иммобилизации средств в запасах и связанные со снижением цен, в случае нереализации продукции, равна 19 ден. ед. за 1 тонну в год. Издержки размещения заказа составляют 200 ден. ед. Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют 81 ден. ед. за нехватку 1 тонны в течение года. Среднее время реализации заказа – 1 месяц. Определить оптимальную партию поставки, максимальную величину размещения заказа и минимальные издержки функционирования системы. Построить графическую модель изменения динамики спроса на продукцию.

Решение. В задаче определены начальные данные: = 200 ден. ед.;