Обобщенная модель оптимальной партии поставки с постоянной интенсивностью и с учетом неудовлетворенных требований

Рассмотрим модель с постоянной интенсивностью спроса и постоянной интенсивностью поступления единиц в единицу времени. Предположим, что потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения. Тогда дефицит допускается, причем неудовлетворенные требования накапливаются и по мере новых поступлений удовлетворяются. Динамика изменения уровня запаса в этом случае показана на рисунке 11.5 и характеризуется следующими положениями:

- в начальный момент времени уровень запаса равен нулю, ;

- в течение времени запас одновременно поступает и расходуется - это время накопления запаса;

- в течение времени запас только расходуется до нуля - это время расходования запаса;

- в течение времени поступающие требования ставятся на учет - это время накапливания дефицита;

- в течение времени поступает новая партия с интенсивностью и ликвидируется дефицит - это время ликвидации дефицита, затем идет накопления запаса и т. д.

Рисунок 11.5

Пусть величина партии поставки. Тогда и .

Пусть s – затраты содержания единицы продукции в единицу времени, а - затраты дефицита единицы запаса в единицу времени. Из экономических соображений следует, что отношение максимального уровня наличного запаса к максимальной величине дефицита равно отношению к , т.е. . Этому же отношению равно и отношение времени расходования запаса и времени накапливания дефицита. Максимальный уровень наличного запаса равен . Эта величина запаса полностью расходуется за время . Поэтому . Накопление максимальной величины дефицита идет со скоростью равной потреблению в течение времени , т.е. . Дефицит ликвидируется при поступлении новой партии со скоростью в течение времени , т.е. . Поэтому . Таким образом, получим систему из четырех уравнений, относительно .

Решив систему относительно , получим

Издержки работы системы состоят из:

- издержек размещения заказа K, не зависящих от величины партии;

-издержек содержания запаса пропорциональных средней величине запаса =

и времени его существования

;

- издержек от дефицита, пропорциональных средней величине дефицита

и времени его существования

Тогда общие издержки в течение цикла равны сумме издержек от реализации заказа, содержания запасов и от дефицита:

Разделив издержки цикла на величину цикла , получим издержки функционирования системы в единицу времени:

Это функция от величины партии поставки . Вычислим производную по , приравняв ее к нулю, найдем :

; .

Это минимум функции , так как . Воспользовавшись найденным значением q^*, находим:

- максимальный уровень наличного запаса

;

- максимальный уровень дефицита

;

- минимальный период возобновления заказа

;

- минимальные издержки функционирования системы в единицу времени

Пример 11.3. Фирма выпускает партиями изделия пяти типов по 1500 штук в сутки. Средний объем потребления каждого типа изделия – 300 штук в сутки. Стоимость переналадки оборудования при переходе от одного типа изделия к другому составляет 1200 ден. ед. Стоимость содержания одного изделия 0,03 ден. ед. в сутки. Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют 0,15 ден. ед. за изделие в сутки. Определить оптимальные параметры работы фирмы .

Решение. В условии задачи заданы: интенсивность поступления изделий в сутки; спрос = 300 изделий в сутки; издержки переналадки оборудования = 1200 ден. ед., издержки содержания s = 0,03 ден. ед. в сутки, издержки дефицита = 0,15 ден. ед. в сутки.

Воспользуемся моделью с постоянной интенсивностью поступления и спроса, когда неудовлетворенные поступления берутся на учет. Тогда минимальная партия поставки:

(изделий);