Примеры линейных оптимизационных моделей
Пример 1.1. Линейная оптимизационная модель годовой производственной программы предприятия.
Производственная мощность предприятия характеризуется величиной годового максимально – возможного выпуска продукции при применении прогрессивных технологий, эффективной организации производства и наиболее полном использовании производственного оборудования предприятия. Математическая модель для определения производственной программы должна иметь критерий эффективности со стоимостными показателями продукции, хотя они имеют ряд недостатков (изменение цен на продукцию из-за инфляционных процессов, ставок оплаты труда, цен на сырье и др.)
Для построения модели введем обозначения:
· - объем производства продукции - го вида, ;
· - стоимость единицы продукции - го вида, ;
· - время обработки - ой продукции на - том оборудовании;
· - фонд времени работы оборудования - го вида.
Математическая модель рассматриваемой задачи будет иметь вид:
Найти план выпуска продукции, при котором предприятие получит максимум выручки
при ограничениях на фонд времени работы оборудования
.
Частным случаем рассматриваемой модели является оптимизационная модель использования ресурсов.
Предположим, что предприятие может изготавливать четыре вида продукции . Предприятие располагает ресурсами и нормами их расхода, приведенными в таблице 1.1
Таблица 1.1
Ресурсы | Продукция | Объем ресурса | |||
П-1 | П-2 | П-3 | П-4 | ||
Трудовые ресурсы, человеко-смены | 2,5 | 2,5 | 1,5 | ||
Полуфабрикаты, кг | |||||
Станочное оборудование, станко-смены | |||||
Прибыль от единицы продукции, ден. ед. |
Требуется: 1) определить план выпуска продукции, максимизирующей прибыль предприятия;
2) учесть требование комплектации, чтобы количество единиц третьей продукции было в два раза больше количества единиц первой;
3) определить оптимальный ассортимент при дополнительных условиях: первой продукции выпускать не менее 27 единиц, третьей – не более 35, а второй и четвертой – в отношении 2:3.
Построим математическую модель задачи. Для этого введем неизвестные величины , характеризующие количество произведенной продукции. Критерий оптимальности – стоимостной (максимум прибыли предприятия). Следовательно, нужно определить план выпуска продукции , при котором целевая функция достигает максимального значения и который удовлетворяет системе ограничений:
· на трудовые ресурсы:
· на полуфабрикаты:
· на станочное оборудование:
· условию неотрицательности переменных:
· дополнительное требование комплектации: ;
· дополнительные условия:
Линейная оптимизационная модель построена. Способы решения рассмотрим ниже.
Пример 1.2. Линейная оптимизационная модель о выборе технологий.
Предположим, что для выпуска некоторой однородной продукции можно использовать технологий и при этом используются видов ресурсов, заданных соответственно объемами
Построим математическую модель, решая которую определим оптимальную технологию для выпуска однородной продукции. Пусть: - время, в течение которого предприятие выпускает продукцию по - тому технологическому способу;
, , - стоимость конечной продукции, производимой в единицу времени, по - тому технологическому способу;
- расход - го ресурса в единицу времени по - тому технологическому способу.
Пренебрегая временем переналадок, необходимым для перехода от одного технологического способа к другому, и воспользовавшись стоимостным критерием оптимальности, получим следующую математическую модель рассматриваемой задачи.
Определить оптимальное применение технологических способов , при которых максимизируется объем выпуска ( в ден. ед.) продукции:
и, которые удовлетворяют системе ограничений:
Предположим, что предприятие может работать по трем технологическим способам. Расход ресурсов за единицу времени при соответствующей технологии и производительность по каждому технологическому способу (в ден. ед.) в единицу времени, представим в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Ресурсы | Технологические способы | Объем ресурса | ||
Т-1 | Т-2 | Т-3 | ||
Трудовые ресурсы, человеко - часов | 1 300 | |||
Сырье, т | ||||
Электроэнергия, кВт/ч | 3 000 | |||
Производительность технологического способа |
Определить план использования технологических способов, при котором максимизируется объем выпуска продукции.
Построим математическую модель задачи. Пусть - время использования -го технологического способа. Требуется найти план , при котором целевая функция
достигает максимального значения, и который удовлетворяет ограничениям:
Пример 1.3.Линейная оптимизационная модель раскроя материалов.
На деревообрабатывающем предприятии листы фанеры для изготовления деталей изделий могут раскраиваться несколькими способами. Если лист раскроить по j-му способу раскроя ( ), то получится деталей i-го вида ( ), при этом отходы с одного листа равны м2. Требуется найти, сколько листов фанеры раскраивать по каждому из способов раскроя, чтобы получить деталей i-го вида не менее единиц, а количество отходов должно быть минимальным.
Составим математическую модель данной задачи.
Обозначим количество листов фанеры, раскраиваемых по j - тому способу. Определим план раскроя листов фанеры так, чтобы суммарное количество отходов по всем вариантам раскроя было минимальным:
и чтобы выполнялись ограничения на изготовление деталей:
Количество листов фанеры, раскраиваемых по j - тому способу, должно быть неотрицательным:
.
Пример 1.4. Линейная оптимизационная модель о рационе.
Сельскохозяйственное предприятие для откорма скота располагает n видами кормов (сочные, грубые, концентрированные и др.). Каждый вид корма характеризуется содержанием питательных веществ (кормовые единицы, белки, фосфор, кальций и др.). Известно содержание i-го питательного вещества в единице корма j-го вида и равно оно единиц ( , ), а также – стоимость единицы корма j-го вида ( ) и минимальная суточная потребность скота в i-м питательном веществе ( ). Требуется составить рацион минимальной стоимости.
Для построения математической модели данной задачи обозначим - количество корма - го вида. Определим рацион , при котором суммарная стоимость рациона:
будет минимальной, а суточная потребность животного в питательном веществе - го вида будет не менее минимального количества :
Количество корма, потребляемого животным, не может быть отрицательной величиной:
.
Пример 1.5. Линейная оптимизационная модель о назначениях.
Имеется n механизмов, которые могут использоваться для выполнения n работ. Известна производительность каждого i-го механизма ( ). Требуется так закрепить механизмы за работами, чтобы суммарная их производительность была максимальной.
Для составления математической модели задачи введем переменные:
Найдем план использования механизмов так, чтобы их суммарная производительность была максимальной:
,
при ограничениях:
· -ый механизм должен быть назначен только на одну работу:
,
· каждая работа должна выполняться только одним механизмом:
.
Пример 1.6. Линейная оптимизационная модель о размещениях.
Отраслью заключены договоры на поставку продукции потребителям в заданных ассортименте, объеме и сроках. Для выполнения договорных обязательств руководство отрасли разрабатывает мероприятия по расширению производства на ряде предприятий, проведению их реконструкции, а также строительству и вводу новых мощностей. Требуется определить объемы производства продукции на действующих, реконструируемых и вновь вводимых предприятиях, а также объемы поставок продукции от предприятий-поставщиков к потребителям, чтобы суммарные затраты на производство и доставку продукции были минимальными.
Введем обозначения и построим математическую модель задачи:
i – вид производимой продукции ( );
j – номер предприятия, производящего продукцию ( );
k – номер потребителя продукции ( );
– мощности j-го предприятия по производству продукции i-го вида;
– стоимость производства единицы продукции i-го вида на j-м предприятии;
– затраты на перевозку единицы продукции i-го вида от j-го предприятия k-му потребителю;
– объем поставки продукции i-го вида k-му потребителю согласно договорным обязательствам;
– искомый объем производства продукции i-го вида на k-м предприятии;
– объем поставки j-м предприятием продукции i-го вида k-му потребителю.
С учетом обозначений суммарные производственные и транспортные затраты в математической модели определяются следующим выражением
.
Ограничения задачи:
· по мощностям каждого предприятия
· по балансу производства и потребления продукции
· по удовлетворению спроса потребителей
· объемы поставок и производства продукции должны быть неотрицательными:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1217;