Уравнения, решаемые с помощью замены переменной

Пример 8.Решить уравнение

Решение.Данное уравнение является квадратным относительно Заменяем получим уравнение Его корни и Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности простейших уравнений:

Уравнение корней не имеет, т. е.

Решением второго является:

Получаем ответ:

Пример 9.Решить уравнение

Решение.Используем тождество и формулу Уравнение сводится к виду

Мы получили квадратное уравнение относительно Заменяем получим уравнение откуда

Приходим к совокупности простейших уравнений:

Получаем ответ:

Пример 10.Найти сумму корней уравнения

если

Решение. поскольку

Упростим исходное уравнение:

Получили квадратное уравнение относительно Сделав замену где имеем уравнение откуда или

Вернувшись к прежней неизвестной, получим совокупность уравнений:

Первое уравнение не имеет решения. Решаем второе:

Придаем n значение n = 0, получаем:

при n = 1 имеем

Нетрудно убедиться, что при всех других значениях n корни не попадут на отрезок Значит сумма корней, принадлежащих отрезку равна

Получаем ответ: