Раскрытие неопределенностей

При нахождении предела функции нужно в выражении функции заменить аргумент его предельным значением. Если при этом не возникает трудностей (неопределенностей различных видов), то предел вычисляется легко. Например

.

Однако, не всегда удается простой подстановкой вычислить предел. Рассмотрим некоторые приемы отыскания пределов в случае неопределенностей.

Неопределенность вида ,порожденную отношением многочленов, раскрывают делением числителя и знаменателя на аргумент в наибольшей степени дроби.

Пример. Найти

1) . 2) . 3) .

Решение.

При и числитель, и знаменатель дроби бесконечно большие. Значит имеем дело с отношением двух бесконечно больших функций. Для решения задачи следует разделить числитель и знаменатель на в высшей степени (в данном случае на ), а после перейти к непосредственному вычислению предела. Итак

1)

(величины при являются бесконечно малыми величинами, поэтому ).

В данном примере степень числителя равна степени знаменателя.

2)

В данном примере степень числителя меньше степени знаменателя.

3)

В данном примере степень числителя больше степени знаменателя.

Правило раскрытия неопределенности вида

1) если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен ;

2) если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе;

3) если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0.

Неопределенность вида ,порожденную разностью двух бесконечно больших величин одного знака, раскрывают домножением на сопряженное выражение, приведением к общему знаменателю или вынесением общего множителя. При домножении на сопряженное выражение следует одновременно разделить на него.

Пример. Найти

1) . 2)

Решение.

1) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное:

.

2) Приводим к общему знаменателю и преобразуем

.

Неопределенность вида при , порожденную отношением двух многочленов, раскрывают выделением в числителе и знаменателе множителя и сокращением на него.

Для раскрытия неопределенности , содержащей иррациональные выражения, следует числитель и знаменатель домножить на сопряженное выражение для иррационального, после чего сделать необходимые упрощения и вычислить предел.

Пример. Найти

1) . 2) .

Решение.

1) Разложим числитель и знаменатель на множители:

.

2) Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, ( ) и получим: