Необходимое условие экстремума

Если в точке дифференцируемая функция y=?(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. ) = 0.

Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция y = имеет экстремум (минимум) в точке x = 0, но не дифференцируема в ней (рис. 4.8, a). Функция y = также имеет в точке x = 0 минимум (рис. 4.8, б), но производная ее в этой точке не существует. Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того, чтобы функция y=?(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала, т.е. чтобы точка была критической.

Это условие не является достаточным, что показывает пример, приведенный на рис. 4.8, в.

a б в

y =

1 y = -----------------

х х х

Рис. 4.8