СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Для того чтобы система тел начала колебательное движение, ее нужно вы­вести из положения равновесия, т. е. со­вершить некоторую работу. При этом си­стема тел приобретает энергию, равную по величине выполненной работе.

Рассмотрим на примере пружинного маятника, как изменяется энергия систе­мы тел при свободных гармонических ко­лебаниях (рис. 106). Пусть груз массой т находится в покое в положении равнове­сия (точка О). Переместим тело в точку х = -А. При этом мы сжимаем пружину и совершаем работу против силы упру­гости , а пружинный маятник приобре­тает энергию, которая равна по величине выполненной работе. Механическая энер­гия сжатой пружины — это потенциаль­ная энергия, величина которой опреде-
ляется по формуле , где k — коэффициент упругости пружины. Так как тело в точке х = -А не движет­ся, его кинетическая энергия здесь равна нулю Е_к (-А) = 0. Следовательно, полная энергия в точке х = - А равна потенци­альной энергии

. (VI.13, а)

Если теперь мы отпустим тело, то оно начнет двигаться к положению равнове­сия О так, что его смещение будет гармо­нической функцией времени (VI. 1).

Для пружинного маятника на рис. 106 мы вы- бирали такие начальные условия, что амплитуда тела равна А, а начальная фаза равна j₀ = - p/2:

Действительно, в начальный момент вре­мени t = 0 смещение равно

После начала движения величина сме­щения груза уменьшается, значит, умень­шаются сила, действую- щая на груз, и потенциальная энергия. В точке О сила упругости равна нулю и потенциальная энергия маятника также равна нулю: Е_п(0) = 0.

Скорость тела, наоборот, увеличи­вается, а значит, увеличивается и кине­тическая энергия. Величину скорости в точке О можно определить по форму­ле (VI.2). Сначала найдём фазу колеба­ния при первом прохождении тела через точку положения равновесия. Время от начала движения до точки О равно одной четверти периода колебаний t₁ =

Следовательно, фаза колебания маятни­ка в точке О равна

Теперь по формуле (VI.2) находим, что скорость груза при прохождении точки положения равновесия имеет максималь­ное значение:

υ = w × А×cos 0 = w×А

Значит, кинетическая энергия в точке О также имеет максимальное значение

Полная энергия пружинного маятника в точке О равна кинетической энергии гру­за:

(VI.13, б)

При дальнейшем движении груза его кине- тическая энергия начинает уменьшаться, а потенци- альная энергия — увеличиваться. В точке х = А кинетическая энергия становится равной нулю, а по-тенциальная энергия снова принимает максимальное значение. Затем цикл повторяется.

Рассматривая модель пружинного маятника, мы считаем, что груз движется без трения, т.е. работа против сил трения равна нулю. Тогда по закону сохра-­
нения энергии для изолированной системы тел полная энергия пружинного маятника в точке х = - А должна быть равна полной энергии в точке х = 0. Проверим выполнение закона сохранения энергии. Для этого подставим в формулу (VI. 13, б) значение циклической частоты (VI. 10)

,

т. е. закон сохранения полной механиче­ской энергии выполняется.

Таким образом, мы видим, что энер­гия гармонических колебаний пружинно­го маятника остаётся постоянной, но пе­риодически превращается из потенциаль­ной в кинетическую и обратно.

В общем случае полная энергия сво­бодных гармонических колебаний опреде­ляется по формуле

(VI.14)

Полная механическая энергия свободных гармонических колебаний прямо пропор­циональна квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Зависит ли полная энергия пружинного маятника и математического маятника от массы тела?

2. Фаза колебаний равна 3p/4. Величина ка­кого вида энергии — кинетической или потенци­альной — больше при этом значении фазы?

4. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

При изучении математического и пру­жинного маятника мы считали, что сил трения нет. Энергия колебательного дви­жения при этом остаётся постоянной. Амплитуда колебаний также остаётся по- стоянной.

Н е з а т у х а ю щ и м и к о л е б а н и я м и называются такие колебания, ампли­туда которых не изменяется со време­нем А = const.

В реальных колебательных системах силы трения всегда присутствуют. В та­ких системах часть полной энергии рас­ходуется на совершение работы против сил трения, поэтому полная энергия сво­бодных колебаний всё время уменьшает­ся. В результате амплитуда колебаний также постоянно уменьшается и через не- которое время колебания прекращаются.

Пример зависимости ампли­туды затухающих колебаний от времени показан на рис. 107.

Все реальные свободные колебания являются затухающими.

Незатухающими для реальной систе­мы тел могут быть только вынужденные колебания, которые происходят под действием периодически изменяющейся со временем внешней силы.

Рассмотрим, как изменяются характе­ристики движения колебательной систе­мы тел при вынужденных колебаниях.

Опыт и теория показывает, что амплитуда и ча­стота вынужденных колебаний зависят от частоты изменения внешней силы.

Частота вынужденных колебаний рав­на частоте изменения внешней силы (пе­риод вынужденных колебаний равен пе­риоду изменения внешней силы).

При изменении частоты f изменения внешней силы амплитуда вынужденных колебаний A (f) изменяется, как показано на графике (рис. 108.) Когда частота изменения внешней силы становится близкой к собственной частоте колебаний систе­мы f₀, амплитуда колебаний резко возра­стает и достигает максимального значе­ния при f = f₀. При дальнейшем изменении частоты f амплитуда колебаний быстро убывает. Это явление называется р е з о н а н с о м. Резонанс встречается не только в механических, но и в электрических ко­лебательных системах. Явление резонан­са имеет большое практическое значение. Его используют при создании машин и электронных приборов. Но резонанс мо­жет быть вреден, поэтому при расчёте механизмов и строительных конструкций явление возможного резонанса нужно учитывать.

5. ВОЛНЫ

Волновое движение, или упругие волны, — это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Различают два вида волн: попереч­ные волны и продольные волны.

П о п е р е ч н ы м и называются такие волны, в которых частицы среды колеб­лются в направлениях, перпендикуляр­ных направлению распространения волны.

Например, механическая поперечная волна распространяется вдоль длинного упругого шнура, если один его конец резко перемещать в перпендикулярном шну­ру направлении (рис. 109).

В том случае, когда смещение частиц среды изменяется со временем по закону синуса, в среде распространяется синусоидальная, или гармоническая волна. График зависимости смещения частиц среды в синусоидальной волне от координаты Х вдоль направления распространения по­казан на рис. 110.

Рассмотрим на графике две части­цы М и М', которые колеблются вдоль оси ОУ. Расстояние между этими части­цами обозначим греческой буквой l (ламбда). Из рисунка видно, что частица М со­вершила на одно полное колебание боль­ше, чем частица М'. Поэтому можно сделать вывод, что фаза колебания частицы М на 2p больше, чем фаза ко­лебания частицы М'. Время, за которое колебание распространяется от частицы М к ча­стице М', равно периоду колебаний ча­стиц Т. Таким образом, за время Т ко­лебание распространяется на расстоя­ние l, которое является характеристикой волнового движения и называется длиной волны.

Д л и н а в о л н ы — это расстояние, на которое распространяется колебание за один период.

Зная длину волны и период колебаний частиц среды, мы можем найти вторую характеристику волнового движения — с к о р о с т ь р а с п р о с т- р а н е н и я к о л е б а н и й (скорость волны)

На опыте установлено, что скорость волны зависит от вида, состояния и упругих свойств сре­ды.

Механические поперечные волны могут распространяться только в твёрдых средах.

П р о д о л ь н ы м и называются такие волны, в которых частицы среды колеб­лются вдоль направления распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в любой среде: твёрдой, жидкой и газообразной.

Например, продольная волна распро­страняется вдоль спиральной пружины, если пружину ударить по одному концу (рис. 111).

Важнейший пример продольных волн — звуковые волны.

З в у к о в ы м и в о л н а м и называются продольные упругие волны, которые распространя­ются в упругой среде (твёрдых телах, жидкостях и газах).

Человек может слышать звуковые ко­лебания (звук); частота этих колебаний лежит в интервале от 16 до 20 000 Гц. Колебания с частотой меньше 16 Гц (ин­фразвук) и больше 20 000 Гц (ультра­звук) человек слышать не может.

Наиболее часто мы встречаемся со звуковыми колебаниями в воздухе, где процесс распространения звуковых волн связан с периодическим увеличением и уменьшением давления воздуха (рис. 112). Скорость распространения звуковых волн в возду­хе (скорость звука) при температуре 0⁰С и нормальном атмосферном давлении (760 мм рт. ст.) равна »332 м/с. При повы­шении температуры и давления воздуха скорость звука возрастает.

Основными характеристиками звуковых колебаний являются громкость, высота и тембр.

Г р о м к о с т ь з в у к а ¾ это его энергетическая характеристика, которая оценивается по субъективному слуховому восприятию звука. Объективной энергетической характеристикой звука является его интенсивность.

И н т е н с и в н о с т ь з в у к а ¾ это физическая величина, равная энергии, переносимой звуковой волной за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны.

В ы с о т а з в у к а характеризуется частотой колебаний (или длиной волны). Чем больше частота (чем меньше длина волны), тем выше звук. Прибор, с по­мощью которого можно получить звуко­вые колебания заданной частоты, назы­вается камертоном. На рис. 112 источни­ком звуковых волн является камертон.

Т е м б р — это качественная характери­стика звука. Реальные звуковые колеба­ния всегда складываются из нескольких гармонических колебаний частиц среды. При этом каж­дое отдельное колебание имеет свою частоту и амплитуду. Тембр звука определяется набором частот этих гармонических колебаний в данном звуке и их амплитудами.