ДИНАМИКА СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Как будет показано далее (стр. 117), система тел совершает свободные гармонические колебания, если в ней действует внутренняя сила, всегда на­правленная в сторону положения устой­чивого равновесия и по величине прямо пропорциональная смещению

F_х = - l×x. (VI.3)

В формуле (VI.3) множитель l — это коэффициент пропорциональности, а знак минус указывает на то, что сила на­правлена в сторону положения равнове­сия, т.е. противоположно направлению смещения х. Силу иногда называют в о з в р а щ а ю щ е й с и л о й.

Покажем, что силы типа (VI.3) дей­ствуют в колебательных системах, кото­рые называются м а т е м а т и ч е с к и м м а я т н и к о м и п р у ж и н н ы м м а я т н и о м. Исследуем дина­мику свободных гармонических колеба­ний на примере этих механических коле­бательных систем.

Математический маятник (рис. 104) состоит из тела массы т, подвешенного на нерастяжимой нити длиной АВ = ℓ в поле сил тяжести. При этом тело, которое считается материальной точкой, может отклоняться от положения равновесия О на малый угол α. В точке В на тело действуют сила тяжести и сила натяже­ния нити .

Проекция равнодей­ствующей силы на направление смеще­ния равна F_х = - mg×sinα, но так как угол α мал, то sinα » α и F_х = - mg×α. Ве­личина угла α в радианной мере есть от­ношение длины дуги ОВ (которая приб­лиженно равна смещению х) к длине нити ℓ : .

Следовательно, в случае математического маятника выраже­ние для возвращающей силы имеет вид (VI.3) при :

. (VI.4)

Динамика движения математического маятника подчиняется второму закону Ньютона, уравнение которого мы запи­шем в проекции на ось ОХ:

Сократим в этом уравнении массу и, обо­значая

, (VI.5)

получаем уравнение движения математического маятника

а_х = - w²× х.(VI.6)

Решение уравнения (VI.3), которое мож­но найти, используя высшую математику, имеет вид (VI. 1)

х (t) = А × sin (wt + j₀).

Значения амплитуды А и начальной фа­зы j₀ определяются начальными условия­ми: величиной смещения (VI. 1) и скоро­сти (VI.2) движения маятника в началь­ный момент времени:

x₀ = x(t = 0), υ₀ = υ (t = 0).

Начальные условия можно задавать про­извольно.

Период колебаний математического маятника Т связан с циклической часто­той w соотношением Т = 2p/w; подставляя в это соотношение значение циклической частоты из формулы (VI.5), находим

. (VI.7)

Период колебаний математического маятника не за­висит от массы тела. Период тем больше, чем больше длина нити маятника.

Математический маятник можно ис­пользовать для приближенного вычисления величины ускорения свободного падения. Для этого нужно экспериментально измерить длину нити ℓ и период колебаний маят­ника Т, после чего из формулы (VI.7) определяется модуль ускорения свобод­ного падения

. (VI.8)

Пружинный маятник (рис. 105) со­стоит из тела массой т — груза, который может перемещаться без трения по гори­зонтальной оси под действием силы упругости пружины с коэффициентом упругости k. Положе­ние груза в точке 0, когда пружина не растянута и не сжата, — это положение равновесия. Если сместить груз вправо (растянуть пружину) и отпустить его, то груз под действием силы со стороны пружины будет совершать колебательное движение около положения равновесия. Проекция на ОХ силы, действующей на груз, по закону Гука равна F_х = - k×x. Воз­вращающая сила имеет вид (VI.3) при l = k. Значит, колебания пружинного маятни­ка будут гармоническими.

Из уравнения второго закона Ньюто­на, записанного

в проекции на ось ОХ: та_х = - k× x, следует уравнение

колебаний пружинного маятника
а_х = - w² × х, (VI.9)

в котором мы сделали обозначение

. (VI.10)

Сравнивая уравнения движения пружин­ного маятника (VI.9) и математического маятника (VI.6), мы видим, что эти урав­нения точно совпадают. Значит, совпа­дают и решения этих уравнений: зависи­мость смещения груза от времени также описывается формулой (VI.1)

х (t) = А × sin (wt + j₀).

Период колебаний находим по формуле Т = 2p/w, или

. (VI.11)

Период колебаний пружинного маятника тем боль­ше, чем больше масса груза и чем меньше коэффициент упругости пружины.

Скорость и ускорение тела — это соответственно первая и вторая произ­водные по времени радиуса вектора это­го тела в некоторой системе координат

Возьмём проекции этих векторов на ось ОХ, так как и математический и пружинный маятники совершают колебательное движение вдоль оси ОХ. Проек­ция радиуса-вектора — это координа­та х, проекция скорости и ускорения

.

Подставляя ускорение в формулу (VI.6) или (VI.9),

получаем дифференциальное уравнение

. (VI.12)

Уравнение вида (VI. 12) называется урав­нением гармонических колебаний.

Проверим, является ли функция (VI.1) х = А × sin (wt + j₀) решением уравнения гармонических колебаний. Для этого два раза продифференцируем (VI. 1):

— это формула зависимости ско­рости от времени при гармонических колебаниях,

— это формула зависимости ускорения от времени при гармонических колебаниях.

После подстановки смещения х и ус­корения а в уравнение (VI.12) это урав­нение становится тождеством, т.е. (VI.1) есть решение уравнения гармонических колебаний.

!!! Запомните формулы и соотношения для гармонических колебаний: смещение: х = А × sin (wt + j0) скорость: υ = w× A ×cos (wt + j0) ускорение: а = - w2×А × sin (wt + j0) период колебаний: — математического маятника ; — пружинного маятника .

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. Под действием каких сил система тел может совершать свободные гармонические колебания?

2. Где больше период колебаний одного и того же математического маятника: на Земле или на Луне?

3. Если увеличить массу груза пружинного маятника, то частота его колебаний увеличится или уменьшится?