СИЛА ДАВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТИ. ДАВЛЕНИЕ

Гидростатика изучает жидкости, кото­рые находят- ся в состоянии равновесия.

Жидкости имеют особые механические свойства:

— малая сжимаемость (жидкость практически сохраняет свой объём даже при больших внешних силах давления),

— в земных условиях жидкость принимает форму того сосуда, в котором она находится.

В жидкости действуют силы упруго­сти, которые направлены перпендикуляр­но к любой твердой поверхности или гра­нице. Эти силы называются с и л а м и д а в л е н и я.

Силы давления распределяются по по­верхности, на которую они действуют (рис. 94).

Д а в л е н и е м называется физическая величина, равная отношению модуля си­лы давления к площади поверхности, на которую сила давления действует:

, (V.1)

где Р — давление,

F_дав. — сила давления,

S — площадь поверхности.

Единица давления в СИ — 1 паскаль:

[Р] = 1 Па = 1 Н/м².

Единица давления в системе СГС — 1 дин/см².

На практике часто используют вне­системные единицы давления:

— 1 миллиметр ртутного столба,

1 мм рт. cт. » 133 Па;

— 1 физическая атмосфера (обозна­чается 1 атм),

1 атм = 760 мм рт. ст.= 1,013× 10⁵ Па;

— 1 техническая атмосфера (обозначается 1 ат),

1 ат = 1 кгс/см² = 9,8×10⁴ Па.

2. ЗАКОН ПАСКАЛЯ

Если жидкость находится в равнове­сии и к повер- хности жидкости приложе­ны внешние силы, то выполняется закон Паскаля: давление, которое производят внеш­ние силы на поверхность жидкости, пере­даётся во все точки жидкости без изме­нения.

Рассмотрим гидравлическую машину, действие которой основано на законе Паскаля.

Гидравлическая машина состоит из двух цилинд- ров, которые соединены между собой (рис. 95). В цилиндрах под поршнями находится жидкость (масло). Площадь поршня в первом цилиндре — S₁, площадь поршня во втором цилинд­ре — S₂ (S₁ < S₂). Пусть на малый пор­шень 1 действует сила По закону Паскаля давление, которое создаёт эта сила жидкость передаёт без изменения в цилиндр 2:

P₁ = P₂.

Давление жидкости в цилиндре 2 можно выразить через силу F₂, с которой жидкость действует на поршень 2, и площадь этого поршня S₂:

.

Таким образом,

или

(V. 2)

Сила F₂ больше силы F₁ во столько раз, во сколько раз площадь поршня S₂ больше площади поршня S₁.

Если под действием силы F₁ поршень 1 переме­щается на расстояние ℓ₁, то поршень 2 перемещается на расстояние ℓ₂. Из усло­вия несжимаемости жидкости следует

V₁ = V₂ Þ S ₁ × ℓ ₁ = S₂ × ℓ или

Подставляем это соотношение в формулу (V. 2) и находим, что F ₁ × ℓ ₁ = F ₂ × ℓ , т. е. A ₁ = A ₂.

С д е л а е м в ы в о д: гидравлическая машина даёт выигрыш в силе, но не даёт выигрыша в работе.

Гидравлическая машина широко ис­пользуется в технике для получения и передачи на расстояние больших сил (гидравлический пресс, гидравлический домкрат, гидравлическая передача).

3. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ

Г и д р о с т а т и ч е с к и м называется давление, которое создаёт сила тяжести, действующая на жидкости.

Пусть масса жидкости в сосуде (рис. 96) равна

т = r_ж × S × h, (V.3)

S — площадь основания сосуда.

Подставляя это значение силы давле­ния F_дав. в формулу (V.1), получим форму­лу гидростатического давления жидкости на дно сосуда

Давление жидкости на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а зависит толь­ко от высоты поверхности жидкости над дном (т. е. от высоты столба жидкости).

По формуле (V.4) гидростатическое давление на лю­бом уровне жидкости (на любой го­ризонтальной поверхности) равно (см. рис. 96):

— на уровне ВВ' Þ Р _ВВ` = r_ж × g × h₁,

где h₁ — высота поверхности жидкости в сосуде отно- сительно уровня ВВ' (т.е. глубина уровня жидкости ВВ');

— на уровне СС' Þ Р _CC` = r_ж × g × h₂,

где h₂ — высота поверхности жидкости в сосуде отно- сительно уровня СС' (т.е. глубина уровня жидкости СС').

Гидростатическое давление в однород­ной жидкос- ти увеличивается пропорцио­нально глубине: Р_{CC`</sub>> Р<sub>BB`}.

Из закона Паскаля и формулы (V.4) следует условие равновесия жидкости: давление на любом горизонтальном уровне жидкости, которая находится в равновесии, одинаково во всех точках на этом уровне.

Например (см. рис. 96):

Р_В = Р _{В`</sub> так как h<sub>B</sub> = h<sub>B`} = h₁,

Р_С = Р_{С`</sub>, так как h<sub>С</sub> = h<sub>С`} = h₂,

но Р_В ≠ Р_С и Р _{В`</sub> ≠Р<sub>С`};

— если на открытую поверхность жидкости действует внешнее давление (например,атмосферное давление Р_ат), то полное давление в любой точ­ке жидкости равно

Р = Р_ат + r_ж × g × h, (V.5)

где Р_ат — атмосферное давление;

r_ж×g × h — гидростатическое давление столба жид­кости

высотой h над уровнем, которому принадлежит данная точка.

4. СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ

С о о б щ а ю щ и м и с я с о с у д а м и называются два или несколько сосудов, которые соединяются друг с другом (рис. 97).

С в о б о д н о й п о в е р х н о с т ь ю жидкости называется поверхность жидко­сти, которая не соприкасается со стенка­ми сосуда.

Из закона Паскаля и формулы (V.4) следует, что свободная поверхность одно­родной жидкости (r₁ = r₂) в состоянии равновесия в сообщающихся сосу­дах устанавливается на одном горизонтальном

уровне (см. рис. 97).

Если в сообщающихся сосудах находятся несмешивающиеся жидкости с разными плотностями (r₁ ¹ r₂), то свободные поверхности жидкостей в разных сосудах могут находиться на разных

уровнях (см. рис. 98):

(V.6)

5. ЗАКОН АРХИМЕДА

Определим силу F¢, с которой тело рас­тягивает пружину, если:

— тело находится в воздухе (рис. 99, а).

— тело находится в жидкости (рис. 99, б).

В первом случае эта сила равна

F₁¢ = mg. (V.7)

Во втором случае сила, с которой те­ло растягивает пружину, уменьшается:

F¢₂ < F¢₁

а б

С д е л а е м в ы в о д: на тело со сто­роны жидкости действует сила, направ­ленная вертикально вверх, которая вы­талкивает тело из жидкости. Эту силу на­зывают в ы т а л к и в а ю щ е й с и л о й или силой Архимеда (см. рис. 99, б).

Таким образом,

F¢₂ = F¢₁ - F_A . (V.8)

Вычислим величину выталкивающей силы, с которой жидкость плотностью r_ж действует на тело (параллелепипед) вы­сотой Н и площадью основания S (рис. 100). Глубина погружения верхнего основания h, глубина погружения ниж­него основания h + H. На тело со всех сторон действуют силы давления. Силы давления на боковые поверхности парал­лелепипеда уравновешивают друг друга:

F_{дав. 3} = F_{дав. 4}; F_{дав. 5} = F_{дав. 6}.

Сила давления на нижнее основание больше, чем на верхнее основание

F_{дав. 2} > F_{дав. 1} [см. формулу (V.4)].

Таким образом, равнодействующая всех сил давления жидкости на твердое тело — выталкивающая сила — направ­лена вертикально вверх и равна

F_А = F_{дав. 2} - F_дав.1,

где

r_ж × g × h₁× S + Р_ат × S = (Р₁+ Р_ат)S = F_дав.,1

r_ж × g × ( h + Н) × S + Р_ат× S = (Р₂ + Р_ат)S = F_дав.,2.

Тогда

F_А = r_ж × g × Н × S,

где Н × S― объём жидкости, вытесненной телом (V_выт.ж.).

Объём жидкости, вытесненной телом (V_выт.ж.) равен:

―объёму тела, если всё тело нахо­дится в жидкости (рис. 101, а):

V_выт.ж. = V_тела = V₁ + V₂;

— объёму той части тела, которая на­ходится в жидкости (рис. 101, б ).

V_{выт. ж.} = V_2.

а б

Поэтому

F_А = r_ж × g × V_выт.ж. = Р_{выт. ж.}. (V.9)

Формула (V.9) — это математическое выражение закона Архимеда:

На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая си­ла, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости, вытесненной те­лом.

Выталкивающая сила приложена в центре объёма жидкости, вытесненного телом.

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. В чём различие понятий: сила давления и давление?

2. Какое соотношение между единицами дав­ления?

3. Какой закон лежит в основе действия гидравлической машины?

4. Что является причиной гидростатического давления?

Основные формулы гидростатики   Давление Закон Паскаля: формулы гидравлической машины   гидростатическое давление Р = rж × g × h Закон Архимеда: FА = rж. × g × Vвыт.ж. = Рвыт. ж.

VI. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

В природе часто встречается движе­ние, которое повторяется во времени. На­пример, движение точки колеса при рав­номерном вращении, движение точек натянутой струны, движение маятника ме­ханических часов (рис. 102). Это примеры периодического движения.

а б в

Рис. 102

Периодическим называется такое движение, отдельные этапы которого точно повторяются через определенный интер­вал времени.

Частный случай периодического движения — это колебательное движение. Такое движение может совершать тело или система тел, которые имеют положе­ние устойчивого равновесия.

К о л е б а т е л ь н о е д в и ж е н и е — это такое периодическое движение, при котором тело или система тел отклоняются от некоторого положе­ния равновесия то в одну, то в другую сторону.

Среди примеров, показанных на рис. 102, колебательное движение (или просто колебания) совершают натянутая струна и маятник часов (рис. 102, б, в).

Шарик на вогнутой поверхности так­же будет совершать колебательное движение относительно положения устойчи­вого равновесия, если в начальный момент он будет выведен из положения равновесия и предоставлен самому себе (см. рис. 88).

Колебания системы тел могут быть свободными и вынужденными.

С в о б о д н ы м и, или с о б с т в е н н ы м и, назы­ваются колебания системы тел, на кото­рую не действуют периодические внешние силы.

Свободные колебания совершают на­тянутая струна и шарик на вогнутой по­верхности, если их отклонить от положе­ния равновесия и предоставить самим се­бе.

В ы н у ж д е н н ы м и называются колеба­ния системы тел, на которую действует периодическая внешняя сила.

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

П е р и о д (обозначается Т) — это вре­мя одного полного колебания (одного цикла колебания). В системах единиц СИ и СГС период измеряется в секундах.

Ч а с т о т а (обозначается f ) — это ве­личина, обратная периоду и равная числу колебаний за одну секунду:

Единица измерения частоты колебаний в системах СИ и СГС называется герц:

[ f ] = 1 Гц = 1 с^-1.

При частоте в один герц тело или система тел совершают одно колебание за одну секунду.

На практике часто используют единицы измерения частоты:

1 килогерц = 1 кГц = 10³Гц,

1 мегагерц = 1 мГц = 10⁶ Гц.

Если система тел совершает свобод­ные (собственные) колебания, то часто­та таких колебаний называется собствен­ной частотой.

Смещение (обозначается х) — это величина отклонения тела или системы тел от положения устойчивого равнове­сия. Наиболее часто смещение измеряет­ся в единицах длины:

в системе СИ [х] = 1 м,

в системе СГС [х] = 1 см.

Функция зависимости смещения от времени x (t) полностью описывает данное колебательное движение.

Рассмотрим наиболее простой вид ко­лебаний — гармонические колебания.

Г а р м о н и ч е с к и м и называются та­кие колебания, при которых смещение изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

х (t) = А × sin (wt + j₀). (VI. 1)

В формуле (VI. 1) содержатся следующие характеристики гармонических колеба­ний.

А м п л и т у д а:

(обозначается А) — это величина максимального смещения; из­меряется в единицах длины.

Ц и к л и ч е с к а я ч а с т о т а:

(обозначает­ся w) — греческая буква «омега») — это величина, связанная с частотой и перио­дом соотношением

Единица измерения циклической часто­ты — радиан в секунду

Ф а з а к о л е б а н и я:

(обозначается j — греческая буква «фи»)

Н а ч а л ь н а я ф а з а:

(обозначается j₀) — это фаза колебания в момент времени t = 0.

Если начальная фаза равна нулю j₀ = 0, то в начальный момент времени t = 0 смещение тела равно нулю х = 0, т. е. тело находится в точке положения равновесия.

Фаза и начальная фаза измеряются в радианной мере угла.

Некоторые перечисленные характери­стики колебаний удобно показать на гра­фике зависимости смещения от фазы. Пусть у нас есть две системы тел, кото­рые совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой и частотой, но с разными начальными фазами: для пер­вой колебательной системы начальная фаза равна нулю:

х₁ = х₁(j) = А × sin wt,

a для второй системы начальная фаза от­лична от нуля

х₂= х₂(j)= А × sin (wt + j₀).

Пусть в данном случае аргументом функ­ции смещения будет фаза первой колеба­тельной системы j = wt. На рис. 103 по­казаны графики этих двух колебаний — две синусоиды.

Рассмотрим, как параметры колеба­ний связаны с геометрическими характе­ристиками графиков на рис. 103.

Для колебательного движения х₁(j), например в точке n, смещение х _n равно длине отрезка ND, фаза j _n равна длине отрезка фазовой оси ОD. Разность фаз между точками с одинаковым смеще­нием М и N, равная 2p, соответствует периоду колебания Т. Максимальное сме­щение равно амплитуде А.

На рис. 103 видно также, что синусои­да х₁(j) начинается в точке х₁= 0 (в точке положения равнове- сия) при j = 0, что соответствует начальному моменту времени t = 0. Синусоида х₂(j) приходит в положение х = 0 только через некоторое время, которому соответ- ствует отрезок фазовой оси ОС. Длина этого отрезка по модулю равна начальной фазе: ОС = j₀.

Если смещение точки при гармонических коле­баниях изменяется по закону сину­са (VI. 1), то скорость движения точки, которая совершает колебательное движение, изменяется по закону:

υ_х (t) = w× А × cos (wt + j₀), (VI. 2)

а ускорение

а_х (t) = - w²× А × sin (wt + j₀). (VI. 3)

??? ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:

1. В чём различие периодического и колеба­тельного движений?

2. Что такое собственная частота колебаний?

3 Какими характеристиками полностью опре­деляется гармоническое колебание?

4. Что есть общего и различного в параметрах колебаний: а) смещение и амплитуда? б) ча­стота и циклическая частота? в) фаза и начальная фаза?

5. Как выразить фазу через период колеба­ний?

6. Как изменятся параметры гармонических колеба- ний, если уравнение (VI.1) записать не через синус, а через косинус?