Принцип Даламбера

Принцип Даламбера применяется при решении первой основной задачи динамики несвободной точки, когда известны движение точки и действующие на неё активные силы, а отыскивается возникающая реакция связи.

Запишем основное уравнение динамики несвободной точки в инерциальной системе отсчёта:

.

Перепишем уравнение в виде:

.

Обозначив , получим

, (11.27)

где вектор называется Даламберовой силой инерции.

Формулировка принципа: В каждый момент движения несвободной материальной точки активная сила и реакция связи уравновешиваются Даламберовой силой инерции.

Проектируя векторное уравнение (11.27) на какие-либо координатные оси, мы получим соответствующие уравнения равновесия, пользуясь которыми можно находить неизвестные реакции.

Спроектируем уравнение (11.27) на естественные оси:

(11.28)

где называется центробежной силой инерции, всегда направленной в отрицательную сторону главной нормали; .

Замечания:

1).В действительности к точке помимо сил и каких-либо других физических сил не приложено и три силы не составляют уравновешенную систему сил. В этом смысле Даламберова сила инерции является фиктивной силой, условно прикладываемой к точке.

2). Принцип Даламбера следует рассматривать как удобный методический прием, позволяющий задачу динамики свести к задаче статики.

Пример 1.Определим реакцию связи, действующую на лётчика при выходе самолёта, движущегося в вертикальной плоскости, из пикирующего полёта (рис.11.5).

На лётчика действует сила тяжести и реакция сидения . Применим принцип Даламбера, присоединив к этим силам Даламберову силу инерции:

(11.29)

Запишем уравнение (11.29) в проекциях на нормаль :

(11.30)

где r - радиус окружности при выходе самолёта на горизонтальный полёт,

- максимальная скорость самолёта в этот момент.

Из уравнения (11.30)

(11.31)

Рис.11.5

Так как лётчик будет давить на сидение с той же силой, он при этом будет испытывать ощущение “перегрузки”. Дополнительное слагаемое называется коэффициентом “перегрузки”.

Пример 2. Определим теперь ту же реакцию, действующую на лётчика в момент выхода из режима набора высоты (рис.11.6).

Рис.11.6

Уравнение (11.29) в проекциях на нормаль будет иметь вид: (11.32) и, следовательно, В этом случае при и имитируется ощущение невесомости, так как при этом давление лётчика на сидение также равно нулю.

Относительное движение материальной точки

Если системы отсчета движутся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно, либо неравномерно или криволинейно движутся начала их координат, то такие системы отсчета являются неинерциальными. В этих системах отсчета аксиомы А1 и А2 не соблюдаются, но из этого не следует, что в динамике исследуются лишь движения, происходящие в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системе координат, если известны силы, действующие на материальную точку, и задано движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета. В дальнейшем инерциальная система отсчета будет называться неподвижной, а неинерциальная – подвижной системой отсчета. Пусть - равнодействующая активных сил, действующих на точку, а - равнодействующая реакции связей; - неподвижная система координат; - подвижная система координат.

Рассмотрим движение материальной точки М (рис. 11.7), не связанной жестко с подвижной системой координат, а движущейся по отношению к ней. Это движение точки в кинематике называли относительным, движение точки относительно неподвижной системы координат – абсолютным, движение подвижной системы координат – переносным.

Рис. 11.7

Основной закон динамики для абсолютного движения точки М будет иметь вид

(11.33)

где - абсолютное ускорение точки.

На основании теоремы сложения ускорений кинематики (теоремы Кориолиса) абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного и кориолисова ускорений

. (11.34)

Подставляя (11.34) в (11.33), получим

и после переноса и ввода обозначений

(11.35)

где ; вектор называют переносной силой инерции; - кориолисовой силой инерции.

Равенство (11.35) выражает закон относительного движения точки. Следовательно, движение точки в неинерциальной системе отсчета можно рассматривать как движение в инерциальной системе, если к числу действующих на точку активных сил и реакций связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Частные случаи

1. Если подвижная система координат движется поступательно, то угловая скорость подвижной системы координат и следовательно,

так как кориолисово ускорение

Закон относительного движения в этом случае принимает вид

2. Если точка относительно подвижной системы координат находится в покое, то относительная скорость и относительное ускорение равны нулю

и, следовательно, .

Тогда равенство (11.35) примет вид

(11.36)

Равенство (11.36) представляет уравнение относительного равновесия материальной точки.

3. Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то и закон относительного движения материальной точки будет иметь такой же вид, что и закон движения относительно инерциальной системы координат. Следовательно, системы координат, движущиеся поступательно, равномерно и прямолинейно будут инерциальными. Отсюда следует принцип относительности Галилея: никакими механическими экспериментами нельзя определить находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение.