Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению.
Теорема:
Если твердое тело движется поступательно, то:
1. Траектории всех его точек одинаковы.
2. Скорости и ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны между собой.
Доказательство:
Если выбрать две точки А и В твердого тела, то радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию
. (6.6)
При поступательном движении вектор является постоянным и по модулю и по направлению в любой момент времени.
Уравнение (6.6) показывают, что годограф радиус-вектора точки В, являющийся траекторией этой точки, сдвинут по отношению к годографу радиус-вектора точки А (траектория точки А) на постоянный вектор . Если этот сдвиг осуществить, то обе траектории совпадают всеми своими точками. Такие траектории считаются одинаковыми. Следовательно, пункт 1) теоремы доказан.
Далее продифференцируем по времени выражение (6.6):
. (6.7)
По первому свойству производной вектор-функции скалярного аргумента
, т.к. и поскольку и , то из (6.7) имеем
. (6.8)
Дифференцируя по времени (6.8) и учитывая, что
и ,
получим
. (6.9)
Теорема доказана.
Поскольку все точки твердого тела при поступательном движении движутся одинаково, то поступательное движение полностью характеризуется движением одной точки тела. Для задания этого движения достаточно знать координаты какой-либо точки тела, как функции времени, т.е.
. (6.10)
Следовательно, твердое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы
К = 3.
И уравнения (6.10) являются уравнениями поступательного движения твердого тела. Для изучения поступательного движения достаточно использовать кинематику точки.
Дата добавления: 2015-09-21; просмотров: 777;