Характеристические числа и характеристические векторы
От характеристических векторов зависят динамические свойства системы. Рассмотрим векторное уравнение
y = Ax,
где у – вектор входа (n×1); x – вектор выхода (n×1); А – квадратная матрица (n×n).
Вопрос о нахождении характеристических значений связан с вопросом: существует ли такой вектор x, который в результате его преобразования с помощью матрицы А переходит в вектор y, имеющий то же направление в пространстве что и вектор x. Если такой вектор x существует, то это значит, что yпропорционален x(рис. 2.11):
y = Ax = λx,
где λ – скаляр.
Рис. 2.11. Характеристический вектор y= λx
Перенесем λx = λExв левую часть:
(λE – A)x= 0,
где E – единичная матрица.
Это векторно-матричное уравнение можно записать в виде равносильной системы скалярных уравнений, соответствующих строкам матрицы А:
Данная система имеет нетривиальное решение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:
Раскрытие данного определителя приводит к характеристическому уравнению:
.
Многочлен n-й степени относительно l называется характеристическим многочленомматрицы А.Корни этого уравнения равны характеристическим (собственным) значениям матрицы А. Особый интерес представляют коэффициенты многочлена а1 и аn.
Если положить λ = 0, то:
Представим
и снова положим, что λ = 0. Тогда
,
откуда
Таким образом, произведение характеристических чисел равно определителю матрицы А. В случае равенства нулю какого-нибудь из характеристических чисел матрица А становится особенной (вырожденной).
Раскрывая характеристическое уравнение, записанное в виде произведения сомножителей, можно выразить коэффициенты при различных степенях λ через характеристические числа.
Выразим коэффициент при λn-1:
С другой стороны, раскрывая также определитель |λE–A|, найдем, что коэффициент при λn-1 равен со знаком минус сумме диагональных элементов матрицы А:
Таким образом, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее характеристических чисел:
Ввиду важности этого свойства сумме диагональных элементов матрицы присвоено особое название: след матрицы. Обозначим след матрицы:
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 854;