Лемма Шварца.

 

Теорема (об устранимой особенности). Если 1) Функция f – непрерывна в некоторой окрестности точки z0, т.е. в круге .

2) Функция f – голоморфна в То функция f – голоморфна в .

Доказательство. Пусть замкнутый , лежащий в . Рассмотрим случаи:

1. (по ИТК)=0 2. проведём дугу окружности радиуса 3.

 

2.

3. Сводится ко 2-му разбиением на 2 части. Далее f –непрерывна в U и в U. Следовательно по теореме Мореры f – голоморфна в U.

 

Лемма Шварца. Если 1) f – голоморфна в 2) 3)

То 1) выполняются неравенства: а) б)

2) Если в неравенстве а) достигается равенство хотя бы в одной точке отличной от 0, имеем: в неравенстве б) достигается равенство, то

Доказательство. Определим функцию . Очевидно голоморфна в . непрерывна в D. Тогда голоморфна в D по теореме об устранимой особенности. Зафиксируем , проведём окружность Применим принцип мах модуля: . Мы доказали неравенства а) и б). Теперь пусть выполняется посылка 2) утверждения, достигает мах в D, по принципу мах модуля

 

Следствие. конформно, следовательно ДЛО.

Доказательство. берём такое отображение. Тогда так можно сделать. Тогда без ограничения общности считаем, что Тогда к w можно применить лемму Шварца к обратному (и к прямому тоже ), отображению А тогда и снова применим лемму Шварца, получим , а это ДЛО.

 

ФОРМУЛА СОХОЦКОГО








Дата добавления: 2015-09-02; просмотров: 1528;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.