Принципы максимального модуля.

Теорема о среднем.

Теорема. Если функция голоморфна в круге , то её значение в центре круга = среднему арифметическому её значений на границе, т.е. где - окружность.

Доказательство. Напишем формулу Коши: параметрический вид окружности: тогда

Принципы максимального модуля.

Теорема. Если 1) f – голоморфна в D

2) достигает мах в D, то

Доказательство. 2 случая: 1. m = 0, тогда f = 0,

2. m > 0. Рассмотрим множество Е: .

Свойства Е: 1) Во-первых, оно не пусто:

2) Во-вторых, Е замкнуто относительно D (следует из того, что непрерывна относительно D).

3) В-третьих, Е – открытое.

на и на . Напишем теорему о среднем:

предположение (1) неверное. открытое.

Т.к. D – связанное и из 1),2),3)

Далее рассмотрим:

Свойства : 1) Оно не пусто:

2) замкнуто относительно D (непрерывность f).

3) – открытое.

Докажем 3) свойство. Возьмём , где Ln –непрерывная ветвь логарифма, а . (композиция голоморфна). поэтому Тогда из условия Коши-Римана следует в круге в круге открытое. Аналогично, таким образом, в D.

Следствие. Если 1) D – ограниченная область с границей Г.

2) f - а) голоморфна в D б) непрерывна в D, тогда

Т.е. здесь сказано, что мах достигается на границе.

Вопрос: Справедлив ли принцип минимального модуля?

Ответ: а) Вообще говоря – нет.

б) если то – да.

Т.к. если функция имеет нули, то в нулях – минимум следовательно а) доказано, а если функция не имеет нулей, то можно рассмотреть функцию , а для неё работает теорема о принципе мах модуля.