Лемма Жордана.

Пусть голоморфная в , где - конечное число особых точек принадлежащих , Обозначим: Предположим, что (последовательность чисел), т.ч. Пусть Тогда утверждается, что интеграл Фурье: , если интеграл слева существует в смысле главного значения по Коши.

Доказательство. Обозначим интеграл за J. А правую часть равенства за А.

Обозначим замкнутый контур. Пусть R – достаточно большое, т.ч.

Все лежат внутри замкнутого контура. Тогда по основной теореме Коши о вычетах: при Если докажем, что , тогда лемма доказана. Оценим: При Важно, что иначе не верно.

Лемма верна для той полуплоскости, где exp убывает.

Пример.

Для

Для в силу нечётности. Тогда График:

Задача. Рассмотрим: . Исследовать поведение при . (можно дифференцировать по параметру . Обоснование!!!).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА