Методика и примеры решения задач

Задачи, для решения которых используют формулы кинематики плоского движения тела, касаются преимущественно определения скоростей и ускорений точек разных механизмов и определения угловых скоростей и ускорений звеньев этих механизмов за заданным движением ведущего звена механизма.

Механизм, движение которого рассматривается, нужно изображать на рисунку в том положении, для которого нужно определить соответствующие характеристики.

При определении угловых скоростей и скоростей точек нужно знать модуль и направление скорости какой-либо одной из точек и направление скорости другой точки этого тела, что позволяет найти положение мгновенного центра скоростей (кроме случая 5, рассмотренного в разделе 3.1.2). При этом нужно понимать, что каждое звено механизма, которое осуществляет плоскопараллельное движение, имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

Для определения углового ускорения плоской фигуры и ускорений ее точек применяют векторное выражение (132), учитывая, что при криволинейном движении точек их ускорения имеют касательные и нормальные составляющие. Поставленная цель является досягаемой, если известны векторы скорости и ускорения одной из точек этой фигуры, а также траектория другой точки фигуры или положения мгновенного центра скоростей.

Это позволяет найти модули и направления большинства из ускорений выражения (132), оставив неизвестными только две величины (модули, направления). Потом, проектируя векторное уравнение (132) на выбранные оси координат, получают два алгебраических уравнения, за которым вычисляют неизвестные величины.

Угловое ускорение плоской фигуры чаще всего находят после вычисления касательного ускорения одной из точек фигуры во вращательном движении вокруг полюса, применяя зависимость (133). Но в случае качения без скольжения колеса неподвижной поверхностью (див.рис.93), когда расстояние центра колеса к м.ц.с. остается неизменной, угловое ускорение находят путем дифференцирования по времени выражения угловой скорости :

или

Пример 6

В плоском механизме, изображенном на рис 95, длина звеньев которого l₁=OA=0,6м, l₂=AB=1,8м, l₃=O₁B=2,4м, О₁D=0,8м и l₄=DE=1,2м, кривошип вращается с угловым ускорением ₁=10с^-2. Определить скорости V_B, V_E точек механизма и угловые скорости w₂, w₄ стержней и , а также ускорение точки и угловое ускорение стержня в положении механизма, когда углы =60 , =90 , =45 , =120 , а угловая скорость кривошипа ОА =6с , его угловое ускорение ε₁=10с^-2.

Решение

Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.96). Определяем скорость точек. Скорость точки А перпендикулярна к кривошипу . Ее модуль м/c.

Скорость точки В, которая одновременно принадлежит шатуну АВ и кривошипу О₁В, перпендикулярна к кривошипу О₁В. Мгновенный центр скоростей Р₂ стержня АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Скорости точек стержня АВ (звена 2) и его угловая скорость связаны зависимостью

Рисунок 95

О₁

Рисунок 96

Как видно из рисунка 96, треугольник АBP₂ прямоугольный и равнобедренный, поэтому: АР₂=АВ=l₂=1,8м. Исходя из этого, получим:

м.

Итак

с^-1; м.

Для определения скорости точки , которая принадлежит стержню , нужно сначала найти скорость точки . Так как точка вместе с точкой принадлежит звену 3, которое вращается около неподвижной точки с угловой скоростью , то скорость точки найдем из пропорции:

, с^-1,

м/c.

Вектор направлен перпендикулярно к стержню так, чтоб угловая скорость была направлена против хода часовой стрелки относительно направления .

Направление вектора определим, исходя из того, что точка принадлежит одновременно ползуну, который движется вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, которая объединяет эти точки. Сначала по этой теореме установим, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Потом, вычисляя эти проекции, находим:

Откуда

м.

Для определения угловой скорости стержня (звена 4) найдем положение мгновенного центра скоростей в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек и к их скоростям. Тогда:

Из прямоугольного треугольника найдем:

м.

Итак

с^-1.

Определяем ускорения точек. Ускорение точки состоит из касательного и нормального ускорений:

м/с²,

м/с².

Вектор направленный перпендикулярно к , а вектор направленный от точки к точке .

Для определения ускорения точки воспользуемся уравнением

Так как точка принадлежит не только стержню , но и стержню (звену 4), который вращается около неподвижной точки , то ускорение точки В тоже состоит из касательного и нормального ускорений, то есть

Вектор направляем перпендикулярно к стержню в ту или другую сторону. Его вычисление по формуле невозможно, так как значение неизвестно. Нормальное ускорение точки

м/с²

и вектор направляем от точки к точке .

Вектор направляем перпендикулярно к стержню в любую сторону, а вектор – вдоль от точки к точке , и находим числовое значение:

м/с².

Таким образом, в величинах, которые входят в векторное уравнение, неизвестны только числовые значения і . Чтоб найти эти величины, спроецируем обе части векторного уравнения на две произвольно выбранные перпендикулярные оси и . Направляем одну из осей (ось ) вдоль стержня и в результате проектирования получим:

Из этих алгебраических уравнений находим:

м/с²;

м/с².

Тогда ускорение точки :

м/с².

Угловое ускорение стержня :

с^-2.

Ответ:

=5,1 м/с; =2,85 м/с; =2с^-1; =2,83 с ; =13,4 м/с; =8,1 с^-2.

Пример 7

Шестерня радиуса см планетарного механизма (рис. 97,а) приводится в движение кривошипом , который вращается вокруг оси неподвижной шестерни 1 с тем же радиусом. Кривошип вращается с угловым ускорением ε₀=8с^-2, имея в данный момент угловую скорость =2с^-1. Определить скорость и ускорение точки подвижной шестерни механизма, если .

Решение

В данном механизме кривошип совершает вращательное движение, а шестерня 2 движется плоскопараллельно. Кинематические характеристики точки вычислим, рассматривая вращательное движение кривошипа (рис. 97,б):

см/с;

см/с²;

см/с².

а) б) в)

Рисунок 97

Направления векторов , , показаны на рис. 97,б.

Теперь рассмотрим плоское движение шестерни 2, для которой мгновенный центр скоростей находится в точке ее контакта с неподвижной шестерней 1, а расстояние .

Тогда

с^-2, с^-2,

а см/с, где расстояние найдено из равнобедренного треугольника :

см.

Направляем вектор перпендикулярно к , как показано на рис. 97, в.

Ускорение точки найдем по формуле распределения ускорений относительно полюса :

Составляющие ускорения точки во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам:

см/с²;

см/с².

Направления составляющих вектора ускорения точки показаны на рис. 97, в. Выбрав оси координат (див. рис. 97, в), определим проекции вектора на эти оси: