Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установле­нием зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической фи­зики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изу­чаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участ­вующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп­лопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бес­конечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: коэффициент теплопроводности , теплоёмкость и плотность постоянны; внутренние источники тепла отсутствуют; тело однородно и изотропно; используется закон сохранения энергии, ко­торый для данного случая формулируется следующим образом: «разность между количеством тепла, вошедшим вследствие тепло­проводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышед­шим из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис.1.2). Температуры граней различны, поэтому через па­раллелепипед будет проходить теплота в направлении осей х, у, и z.

При принятых обозначениях и выше указанных условиях, используя закон теплопроводности Фурье (1.6), дифференциальное уравнение принимает вид:

. (1.10)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трёхмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты тепло­проводностью и устанавливает связь между временным и пространст­венным изменениями температуры в любой точке поля.

z

dz

dy

x

y dx

Рис.1.2

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой а. Коэффициент температуропроводности является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения м /сек. В нестационарных тепловых процессах коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности ха­рактеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а есть мера теплоинерционных свойств тел. Из уравнения (1.10) следует, что изменение температуры во времени дt/д для любой точки тела пропорционально величине а. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропро­водности. Газы имеют малый, а металлы большой коэффициент тем­пературопроводности. Значения коэффициентов температуропроводности для материалов при­водятся в справочных таблицах.