Теплопроводность через однослойную плоскую стенку

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет опре­делить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля.

Для любого конкретного случая к нему надо присоединить не­обходимые краевые условия.

Рассмотрим наиболее распространенный случай – теплопровод­ность через однослойную плоскую стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной (рис. 2.1).

t

dx x

Рис. 2.1

Стенка имеет во всех своих частях оди­наковую толщину, причем температуры поверхно­стей t и t поддерживаются постоянными, т. е. являются изотермическими поверхностями. Темпе­ратура меняется только в направлении, перпен­дикулярном к плоскости стенки, которое прини­маем за ось х. Коэффициент теплопроводности по­стоянен для всей стенки. При стационарном теп­ловом режиме температура в любой точке тела не­изменна и не зависит от времени, т. е. дt/д = 0. Тог­да, учитывая, что при принятых условиях первые и вторые производные от t по у и z также равны нулю, дифференциальное уравнение теплопроводности (1.10) после сокращения коэффициента температуропро­водности принимает вид:

. (2.1)

Интегрируя уравнение (2.1), находим

.

После вторичного интегрирования получаем

.

При постоянном коэффициенте теплопроводности это урав­нение прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным (рис.2.1).

Найдем постоянные интегрирования A и B:

при х = 0 температура

;

при температура

,

откуда

.

Плотность теплового потока (удельный тепловой поток) найдем из уравнения Фурье (1.7)

,

или

, Вт/м . (2.2)

Зная удельный тепловой поток, можно вычислить общее коли­чество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время :

, Дж. (2.3)

Таким образом, количество теплоты, которое передается теплопроводностью через плоскую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теп­лопроводности стенки , ее площади F, промежутку времени , раз­ности температур на наружных поверхностях стенки и обратно пропорционально толщине стенки . Тепловой поток за­висит не от абсолютного значения температур, а от их разности

,

называемой температурным напором.

Полученное уравнение (2.2) является справедливым для случая, когда коэффициент теплопроводности является постоянной вели­чиной. В действительности коэффициент теплопроводности реальных тел зависит от температуры. Поэтому в этом случае закон изменения температур будет выражаться кривой линией. Если коэффициент теплопроводности зависит от температуры в незначительной степени, то на практике закон изменения температур считают линейным.

Уравнение (2.2) можно получить непосредственно и из закона Фурье (1.6), считая, что температура изменяется только в направ­лении оси х.