Классический метод расчета переходных процессов.
Основные понятия и принципы анализа переходных процессов.
Определение переходных процессов.
Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного режима работы электрической цепи (обычно периодического) к другому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например амплитудой, фазой, формой или частотой, действующей в схеме ЭДС, значениями параметров схемы, а также вследствие изменения конфигурации цепи.
Периодическими являются режимы синусоидального и постоянного тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи.
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация — это процесс замыкания (рис. 1, а) или размыкания (рис. 1, б) выключателей.
Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.
Рис. 1
Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли секунды; сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее, изучение переходных процессов важно, так как оно дает возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса (и вызвать недопустимые механические усилия), а также определить продолжительность переходного процесса.
Приведение задачи о переходном процессе к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на элементах L и R равна ЭДС Е:
или
Рис. 2
Как известно из курса математики, уравнение, содержащее неизвестную функцию (в нашем случае i) и ее производные (в нашем случае Ldi/dt), называют дифференциальным уравнением.
Таким образом, определение тока как функции времени, по сути дела, есть решение дифференциального уравнения.
Известно, что решение дифференциального уравнения — это отыскание функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тождество.
Решение линейных дифференциальных уравнений будем проводить в основном четырьмя методами: классическим, операторным, методом интеграла Дюамеля и методом пространства состояний.
Законы коммутации.
Обоснование невозможности скачка тока через индуктивную катушку и скачка напряжения на конденсаторе.
Доказательство того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы рис.2. По второму закону Кирхгофа
(1)
Ток i и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно большие) значения.
Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени Dt®0 ток изменится на конечное значение Di. При этом Di/Dt®¥. Если вместо Ldi/dt в уравнение (1) подставить ¥, то его левая часть не будет равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа.
Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа.
Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L, равное Ldi/dt, скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа.
Доказательство того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично.
Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис. 3, a). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:
где Е — ЭДС источника, конечная величина; uC — напряжение на конденсаторе.
(2)
Рис. 3
Если допустить, что напряжение uC может измениться скачком, то DuC/Dt » duC/dt®¥ и левая часть (2) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму закону Кирхгофа. Однако ток через конденсатор, равный CduC/dt, может изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа.
Из указанных двух основных положений следуют два закона (правила) коммутации.
Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации L(0-) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации L(0+):
(3)
Время t=0- представляет собой время непосредственно до коммутации, t=0+ — после коммутации (рис. 3, б). Равенство (3) выражает собой первый закон коммутации.
Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации uC(0-), а напряжение на нем непосредственно после коммутации uC(0+).
В соответствии с невозможностью скачка напряжения на конденсаторе
(4)
Равенство (4) выражает собой второй закон коммутации.
Классический метод расчета переходных процессов.
Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.
Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций:
1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации;
3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней;
4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени.
Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются:
1) метод, называемый в литературе классическим;
2)операторный метод;
3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля. Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операции
совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета.
Чаще используют классический и операторный методы, реже — метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них.
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье. Для исследования характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков, используют моделирующие установки, а также метод пространства состояний.
Классический метод расчета переходных процессов.
Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при t=0+.
Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корнем характеристического уравнения.
При двух действительных неравных корнях
при трех действительных неравных корнях
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти:
1) числовое значение искомого свободного тока при t=0+, обозначим его iсв(0+);
2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t=0+. Числовое значение первой производной от свободного тока при t=0+ обозначим iсв’(0+); второй — iсв¢(0+) и т.д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования А1, А2,..., полагая известными iсв(0+), iсв¢(0+), iсв¢¢(0+) и значения корней p1, p2, … .
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то iсв=Aept. Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока iсв(0+):
Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то
(5)
Продифференцируем это уравнение по времени:
(5a)
Запишем уравнения (5) и (5а) при t = 0 (учтем, что при t = 0 ep1t = ep2t = 1). В результате получим
(6)
(6а)
В этой системе уравнений известными являются iсв(0+), iсв¢(0+), p1 и p2; неизвестными — А1 и А2.
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 11284;