Переходный процесс при подключении катушки индуктивности в цепи с источником постоянной ЭДС.
Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключа К момент времени t = 0 (рис. 4, а), выполнив последовательно все этапы расчета классическим методом. В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совмещать.
1. При выбранных положительных направлениях тока i и напряжений ur и uL составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и Закона электромагнитной индукции:
(12)
Рис. 4
Исключая из системы уравнений (12) переменные ur и uL, получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка
(13)
2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (13) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:
(14)
Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (14) является постоянный ток (нет изменения тока и di/dt = 0) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т. е.
(15)
называемый установившимся током.
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное решение удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (13).
Общее решение однородного дифференциального уравнения (14) называется свободным током
(16)
где р = -r/L - корень характеристического уравнения
Таким образом, с учетом (15) и (16) общее решение неоднородного дифференциального уравнения (13) имеет вид
(17)
2. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (17). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента в момент времени замыкания ключа t = 0. Так как ток в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т. е. в момент t =0_ , он был равен нулю, то
откуда
Подставив это значение постоянной А в (17), получим закон нарастания тока в цепи (рис. 4, б):
(18)
где τ= L/r имеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называется постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток i достиг бы установившегося значения iу = Е/r , если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости di/dt|t=0+ = E/L.
Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени 3τ с момента коммутации, когда ток достигнет значения i(3τ) =0,95Е/r.
Так как зависимость тока от времени найдена (18), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 4,б):
При 0 ≤ t < τ скорость изменения тока в цепи можно считать приближенно постоянной и равной 
. Следовательно, в этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно
т. е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей цепью.
При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса ur>>uL. Для этих интервалов времени ток в цепи i=е/r , а напряжение на индуктивном элементе
приближенно пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей цепью.
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 2915;