Выборочный коэффициент корреляции
Точечная оценка тестоны линейной корреляционной взаимосвязи двух СВ X и Y, т. е. коэффициента корреляции, осуществляется с помощью выборочного коэффициента корреляции rв по формуле
(6.1)
или
, n<30,
, n<30.
Пример.Установить силу корреляционной связи, если известны результаты наблюдений
x | 1,00 | 1,50 | 3,00 | 4,50 | 5,00 |
y | 1,25 | 1,40 | 1,50 | 1,75 | 2,25 |
Установим силу корреляционной связи. Для этого сначала произведём дополнительные вычисления:
;
.
Вычислим средние квадратические отклонения:
; .
Тогда
;
;
;
.
Полученные результаты подставляем в формулу (6.2) для вычисления выборочного коэффициента корреляции:
.
Выборочный коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, корреляционная связь сильная.
При большом значение объёма выборки n одно и то же значение xi может встретиться раз, yi – раз, одна и та же пара чисел – раз. Поэтому данные выборки группируют и записывают в виде т. н. корреляционной таблицы (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Y | ny | |||||
x1 | … | xi | ... | xk | ||
y1 | … | … | ||||
… | … | … | … | … | … | … |
yj | … | … | ||||
… | … | … | … | … | … | … |
ym | … | … | ||||
nx | … | … | n |
Тогда
. (6.3)
Если , и , являются равноотстоящими с соответствующими значениями h1 и h2, то при расчете rв целесобразно перейти к условным вариантам.
, ; (6.4)
, ,
где с1 – начало нового отсчёта величины X;
с2 – начало нового отсчёта величины Y;
h1 – расстояние между соседними вариантами величины X;
h2 – расстояние между соседними вариантами величины Y.
Тогда формула (6.3) примет вид
. (6.5)
Абсолютное значение rв не превышает значение 1 ( ).
Пример.Установить силу корреляционной святи, если результаті наблюдений
Y | X | ny | ||||
20 | 25 | 30 | 35 | 40 | ||
16 | 4 | 6 | - | - | - | 10 |
26 | - | 8 | 10 | - | - | 18 |
36 | - | - | 32 | 3 | 9 | 44 |
46 | - | - | 4 | 12 | 6 | 22 |
56 | - | - | - | 1 | 5 | 6 |
nx | 4 | 14 | 46 | 16 | 20 | n=100 |
Составляем корреляционную таблицу в условных вариантах. За ложные нули выбираем С1=30 и С2=36.
U | V | nu | ||||
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ||
-2 | 4 | 6 | - | - | - | 10 |
-1 | - | 8 | 10 | - | - | 18 |
0 | - | - | 32 | 3 | 9 | 44 |
1 | - | - | 4 | 12 | 6 | 22 |
2 | - | - | - | 1 | 5 | 6 |
nv | 4 | 14 | 46 | 16 | 20 | n=100 |
Находим , :
;
.
Найдём вспомогательные величины , :
Вычисляем , .
.
.
По формуле (6.5) находим выборочный коэффициент корреляции:
.
Значение rв далее может быть использовано для определения интервальной оценки коэффициента корреляции r. Например, интервальная оценка r нормально распределённой ГС при имеет вид
. (6.6)
Известно, что если величины X и Y некоррелированы, то r=0 (Тема 4). Допустим, что . Т. к. rв является оценкой, r то нельзя достоверно заключить, что r генеральной совокупности также отличен от 0.
Поэтому возникает необходимость проверки статистической гипотезы при конкурирующей гипотезе .
В качестве критерия для проверки основной гипотезы, если ГС (X, Y) распределена нормально, прнимают СВ
, (6.7)
которая при справедливости H0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n-2.
Критическое значение критерия определяем по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы. Наблюдаемое значение критерия определяем по формуле (6.7).
Если – нет оснований отвернуть H0, что означает: rв незначим, СВ X и Y не коррелированы.
Если – H0 отвергают: rв значим, СВ X и Y коррелированы.
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 8242;