Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ
Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ (плотность распределения непрерывной двумерной СВ, двумерная плотность вероятностей) - это вторая смешанная производная от функции распределения
(4.4)
или (что следует из определения производной) - это предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке , к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю.
Поверхность, изображающая функцию называется поверхностью распределения.
Интегральная функция выражается через формулой
(4.5)
Величина называется элементом вероятности для системы двух СВ и равна вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке .
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область определяется формулой
(4.6)
Для прямоугольной области
Свойства :
1. есть неотрицательная функция .
2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от равен 1
Если все возможные значения принадлежат конечной области , то
Плотности отдельных величин, входящих в систему двух СВ, можно вычислить через совместную плотность
(4.7)
Пример. Система двух СВ подчинена закону распределения с плотностью
Найти коэффициент , , вероятность попадания случайной точки в квадрат, центр которого совпадает с началом координат, а стороны имеют длину равную 2.
Решение.
Из условия находим
Из формулы (4.5)
По (4.6)
4.3 Числовые характеристики системы двух СВ
Математическое ожидание системы двух СВ :
- для дискретной
(4.8)
- для непрерывной
Математическое ожидание составляющих системы двух СВ :
- если - ДСВ
(4.9)
- если - НСВ
(4.10)
Дисперсия системы двух СВ :
- для дискретной - для непрерывной | (4.11) |
Дисперсия составляющих системы двух СВ :
- если - ДСВ
(4.12)
- если - НСВ
(4.13)
Начальный момент порядка системы двух СВ - МО произведения :
- для дискретной
(4.14)
- для непрерывной
В частности ,
Центральный момент порядка системы двух СВ - МО произведения отклонений соответственно -ой и -ой степеней:
- для дискретной - для непрерывной | (4.15) |
В частности
, ,
,
Для характеристики связи между СВ и СВ системы двух СВ служит смешанный центральный момент порядка , который получил название корреляционный момент (или ковариация)и обозначается .
Для дискретной : Для непрерывной : | (4.16) |
Абсолютная величина не превышает среднего геометрического и
Размерность равна произведению размерностей СВ и .
Для характеристики связи между СВ и СВ системы двух СВ независимо от выбора единиц измерения СВ и служит коэффициент корреляции , равный отношению к произведению СКО и СКО
(4.17)
или
, где
- нормированные СВ с МО=0 и СКО=1.
Абсолютная величина не превышает единицы .
есть величина безразмерная. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ и СВ . Если Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью вида , где не случайны, то , где знак «+» или «-» берется в соответствии со знаком коэффициента .
Пример. Для дискретной двумерной СВ , заданной таблично рассчитать числовые характеристики.
Решение.
по (4.8)
и по (4.9)
по (4.11)
и по (4.12)
по (4.16)
верно
по (4.17)
верно.
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 729;