Основные (типовые) законы распределения НСВ
НСВ имеет равномерноераспределениена участке , если ее плотность на этом участке постоянна:
График имеет вид:
Функция распределения
Равномерное распределение зависит от двух параметров и .
Числовые характеристики:
(3.25)
Частный случай равномерного закона распределения НСВ – НСВ равномерно распределенная на интервале (0,1), для которой
, ,
Значения НСВ называются случайными числами.
Вероятность попадания НСВ в результате испытания в интервал равна его длине:
НСВ имеет показательное (экспотенциальное) распределение, если её плотность выражается формулой:
где - постоянная положительная величина.
График имеет вид
Функция распределения
График функции
Показательное распределение зависит от одного параметра .
Числовые характеристики:
(3.26)
т.е.
Вероятность попадания НСВ , распределенной по показательному закону, в интервал вычисляется по формуле:
(3.27)
Пример:
1. По соединительной линии между пунктами и осуществляются телефонные разговоры со средней длительностью 4 мин. для направления и 3 мин. для . Вызовы составляют 55% всех вызовов. Найти вероятность того, что некоторый разговор длится дольше 6 минут.
Решение.
Длительность разговора в телефонных сетях (время занятости линии связи) имеет показательное распределение. Если - средняя длительность разговора, то - интенсивность освобождения линии связи.
И вероятность того, что разговор случайной длительностью закончится до момента :
(3.28)
а вероятность того, что разговор не закончится до момента :
(3.29)
Тогда
По формуле полной вероятности (2.20)
. Элемент отказывает в среднем 1 раз за 50 часов непрерывной работы. Считая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность отказа за 100 часов.
Решение.
Пусть элемент начинает работать в момент , а через время происходит отказ. Обозначим через НСВ - время безотказной работы элемента.
Тогда интегральная функция
(3.30)
определяет вероятность отказа за время , а функция надежности
(3.31)
где - интенсивность отказов ;
определяет время безотказной работы за время .
Из анализа формулы следует, что вероятность безотказной работы элемента на интервале не зависит от времени работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени .
НСВ имеет общее нормальное распределениес произвольными значениями и , если её плотность
(3.32)
или нормированное распределениес параметрами и , если её плотность
(3.33)
есть функция Гаусса и имеет свойства:
- четности ;
- если , то ;
- табулирована на отрезке .
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса)
Нормальная кривая.
1. Определена на всей оси
2. Принимает только положительные значения.
3. Ось является горизонтальной асимптотой графика .
4. Имеет только один максимум в точке .
5. Симметрична относительно прямой .
6. Точки на кривой с координатами
являются точками перегиба.
При изменении форма нормальной кривой не изменяется, она сдвигается вдоль оси вправо, если возрастает и влево, если уменьшается.
Изменение изменяет форму нормальной кривой. При возрастании кривая становится более пологой, т.е. прижимается к оси . При уменьшении кривая становится более острой.
Интегральная функция общего нормального распределения
(3.34)
а нормированного распределения
(3.35)
есть функция Лапласа
(3.36)
Функция Лапласа обладает свойствами:
- нечетности ;
- если , то ;
- монотонно возрастает (если , то );
- табулирована на отрезке .
Нормальное распределение зависит от двух параметров и .
Вероятность попадания НСВ в интервал
(3.37)
Если участок симметричен относительно точки , то вероятность попадания в него
,
где - половина длины участка.
Пример:
1. Проверить правило 3-х сигм
Решение.
т.е. возможные значения нормальной НСВ попадут в интервал с вероятностью .
2. На автоматическом токарном станке изготовляют болты, номинальная длина которых 40мм. В процессе работы станка наблюдаются случайные отклонения, распределенные по нормальному закону с и . При контроле бракуются все болты, размеры которых отличаются от номинального больше, чем на 2мм. Найти отклонение, если известно, что брак составляет 10% всей продукции.
Решение.
- отклонение размера случайно взятого болта от номинального
Нормальный закон является наиболее важным, как в теории, так и на практике, т.к. большинство наблюдаемых явлений подчиняются этому закону и он считается предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при определенных часто встречающихся типичных условиях.
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 1163;