где Z, F, q — обобщенные сопротивление, сила, скорость.

ОБОБЩЕННЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОГЛАСОВАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

При выполнении любых измерений обязательно сказывается не­которое влияние прибора на процесс, параметры которого изме­ряются. Как бы ни производились измерения, сам факт их предо­пределяет взаимосвязь исследуемого явления с измерительным при­бором.

В одних случаях, как, например, при измерении температуры радиационным методом, влиянием прибора на физический процесс можно пренебречь, в других — этот факт приобретает важное зна­чение и с ним необходимо считаться.

Подобно тому, как в электротехнике при измерении ЭДС стре­мятся свести к минимуму потребляемую измерителем энергию про­цесса, так при измерении механических величин, например силы или давления, стремятся к уменьшению перемещений чувствительных элементов.

В приборах для измерения напряжения это выражается увели­чением входного сопротивления, а в приборах для измерения меха­нических сил, моментов и давлений — увеличением жесткости чувствительного элемента.

С другой стороны, при измерении электрического тока стремят­ся к уменьшению входного сопротивления, а при измерениях ме­ханических перемещений — соответственно к увеличению механи­ческой податливости чувствительного элемента.

С целью характеристики реакции прибора на измеряемый про­цесс вводят понятия «податливости», или входного сопротивления, прибора. В соответствии с наиболее распространенным в литературе определением под обобщенным сопротивлением понимают отношение обобщенной силы к вызванной ею обобщенной скорости:

где Z, F, q — обобщенные сопротивление, сила, скорость.

В понятии сопротивления находят отражение свойства действу­ющих сил и «сопротивляющейся» системы, выраженные через воз­никшую скорость. Поскольку свойства сил и особенно свойства ис­следуемых СИ могут быть достаточно многообразными, то понятие сопротивления оказывается весьма емким.

Понятие обобщенного сопротивления распространяется также и на ИП, и поскольку прибор, как правило, состоит из совокупнос­ти последовательно соединенных ИП, то добиться максимальной точности передачи измерительной информации от преобразователя к преобразователю, а, следовательно, и прибора в целом можно лишь в случае оптимальных условий сопряжения преобразователей. Одним из основных принципов сопряжения преобразователей явля­ется принцип согласования их входных и выходных сопротивлений.

Понятие сопротивления довольно широко известно в электро­технике, механике, акустике, теплотехнике и т. д. К сожалению, не все эти понятия соответствуют общему определению сопротивления. Однако функционирование большинства преобразователей основа­но на двух общих принципах: законе сохранения энергии и принци­пе взаимности. (суперпозиции). Это позволяет ввести понятие обобщенного сопро­тивления и представить такие преобразователи в виде четырехпо­люсников со сторонами различной физической природы.

В теории и практике информационно-измерительной техники пользуются следующими основными понятиями сопротивления: операторным, комплексным, переходным. Понятие «операторное сопротивление» является наиболее общим и может быть получено из уравнений Лагранжа второго рода (4.61). Для механических си­стем с обобщенными координатами скоростью после диффе­ренцирования (4.61)

(4.61) повтор!!!

Имеем:

_.

Обозначая операцию дифференцирования через и вынося за скобку , получим:

(4.83)

где — обобщенное операторное сопро­тивление.

Аналогичным образом можно, используя обозначения табл. 4.3, получить тепловое, электрическое, акустическое и другие обобщен­ные сопротивления.

Для большинства преобразователей число обобщенных коор­динат может быть сведено к двум, называемым сторонами преобра­зователей. Действительно, из уравнений, описывающих преобра­зователь, можно оставить только два — характеризующие обмен энергией с внешней средой и, как правило, содержащие входную и выходную величины. В остальных n — 2 уравнениях, в такой по­становке задачи, будут равны нулю. Следовательно, уравнения можно решить относительно промежуточных обобщенных коорди­нат, характеризующих внутренние степени свободы, и подставить значения в первые два уравнения. Тогда из (4.83) для полу­чим так называемую -форму уравнений:

(4.84)

(4.84 а)

где — главный определитель;

— дополнения определителя , получаемые вычеркиванием i-й строки и k-го столбца с умножением на (для п = 2, _.

Сравнивая, например, последнее выражение для и с урав­нениями Y-формы пассивного электрического четырехполюсника [44], нетрудно увидеть их аналогию. Это позволяет использовать из­вестную теорию четырехполюсников для описания ИП.

Согласно принципу взаимности (суперпозиции), и, соответственно, . Сопротивления и называют собственными сопро­тивлениями (собственным входным и собственным выходным), а и —собственными взаимными (передаточными) входным и выходным сопротивлениями.

Считая или (холостой ход), определим значения сопротивлений:

(4.85)

Найдя значения сопротивлений холостого хода, и используя (4.84а), можно опреде­лить так называемые входное и выходное сопротивления корот­кого замыкания, то есть при или из (4.84), (4.84а) следует:

(4.86)

где сопротивление нагрузки.

Аналогично выходное сопротивление преобразователя

где — условная нагрузка на входе преобразователя, равная эк­вивалентному выходному сопротивлению устройства, подключен­ного ко входу преобразователя.

Следует оговорить, что уравнения приборов и преобразователей с одним входом и выходом могут быть различными. Так, если пре­образование входной величины основывается на использовании ки­нетической энергии, то справедливо уравнение (4.84), а если только на использовании потенциальной энергии, то справедливыми будут аналогичные уравнения, однако аргументами в них будут уже обоб­щенные координаты. Следовательно, коэффициенты или обоб­щенные сопротивления должны стать обобщенными упругостями . Связь между коэффициентами _и при этом

Уравнения (4.84) принято [35, 47, 48] называть основной фор­мой, из которой можно получить другие. Поскольку уравнения со­держат четыре величины, то число форм в общем случае равно шес­ти. Выбор той или иной формы уравнений зависит в основном от того, какие из величин являются входной и выходной, и принципа построения преобразователя.

Для линейных преобразователей зависимость между выходной и входной величинами определяется коэффициентом преобразования. Для различного сочетания входной и выходной величин из (4.84) определим коэффициенты преобразований:

при информативных параметрах и

(4.87)

при информативных параметрах ,

(4.88)

при информативных параметрах ,

(4.89)

при информативных параметрах F₂ и

(4.90)

В конечном счете, сопротивления Zik являются функциями конст­руктивных параметров преобразователей. Следовательно, и коэффи­циенты преобразований зависят от этих параметров. Имея значения сопротивлений, можно использовать их для отыскания оптималь­ных значений параметров или же определить погрешности пре­образований, задав, например, погрешности элементов и т. д.

Обобщенные сопротивления также могут быть использованы для составления математической модели СИ.

В общем случае зависимость между обобщенными входной X и выходной Y величинами для линейных систем может быть записа­на в виде

(4.91)

где — постоянные коэффициенты, зависящие от конструктив­ных параметров; - комплексная переменная оператора Лапласа.

Следовательно, исходя из значений Z_ik как функций конструк­тивных параметров, можно получить уравнение (4.88). Действи­тельно, если, например, и , то уравнение (4.88) мо­жет быть получено из значения , для и — из k_FF и т. д.

Операторное сопротивление является одной из форм представ­ления сопротивлений в функции временных процессов. Однако для исследования гармонических колебательных процессов в измери­тельных цепях целесообразно использовать комплексное сопротив­ление. которое может быть получено из операторного путем заме­ны . Такая замена возможна в связи с тем, что оператор можно рассматривать не только как символ дифференцирования, но и как некоторое комплексное число , представляющее собой комплексную частоту [42, 47].

Комплексное сопротивление может быть определено при зада­нии силы как

(4.92)

при и как

(4.93)

где — частота процесса; — сдвиг фаз между силой и скоростью; Z — модуль сопротивления.

Для характеристики СИ, работающих, например, в импульсном режиме, или для изучения сил, произвольно меняющихся во време­ни, то есть в тех случаях, когда особую важность приобретают пе­реходные процессы, пользуются понятием переходного сопротив­ления.

Переходное сопротивление может быть определено как отноше­ние мгновенного значения обобщенной силы к мгновенному значению обобщенной скорости:

Приведенные определения сопротивлений не исчерпывают всех понятий, с которыми приходится сталкиваться в теории и практике. Например, существуют понятия статического, динамического, от­рицательного, переносного и взаимного сопротивлений.

Полученные выражения для Z_ik и коэффициентов преобразова­ний k могут быть использованы для описания двусторонних гене­раторных преобразователей — с одним входом и выходом.

В зависимости от вида выходного сигнала ИП делятся на генераторные и параметрические. В генераторных преобразователях выходные сигналы обладают энергетическими свойствами, например электрический ток, механическая сила, давление и др. В параметри­ческих измерительных преобразователях изменение входного сигна­ла приводит к изменению их определенных параметров: сопротив­ления, емкости, упругости и др. Для получения выходного сигнала в виде энергии в этом случае требуется дополнительный источник энергии.

Если необходимо рассмотреть преобразователь в качестве трех­стороннего, например, пьезоэлектрический преобразователь в виде стержня, или учесть влияние внешнего фактора, действующего не со стороны входа, то необходимо представление преобразователя в виде шестиполюсника, а не четырехполюсника. Это приводит к зна­чительному усложнению всех теоретических соотношений, что может быть оправдано, когда учет третьей стороны определяет принципи­альныеособенности устройства преобразователей.

Уравнения (4.84), описывающие преобразователь, принимают вид

Для параметрических ИП в связи с тем, что их выходным инфор­мативным параметром является тот или иной параметр цепи, а не или а необходимое условие для передачи информации — нали­чие вспомогательного источника энергии, прямое использование приведенных значений и невозможно. Однако распространение этой теории на параметрические преобразователи не представляет больших трудностей.

Рассматривая обмен энергией в параметрическом преобразовате­ле, будем иметь две обобщенные координаты, а, следовательно, и два уравнения. Например, для механической входной и электриче­ской выходной величин

(4.94)

где — входное сопротивление; — выходное сопротивление; U — напряжение дополнительного источника.

Так как выходная величина зависит от входной величины х и, с другой стороны, от энергии дополнительного источника, то, очевид­но, выходное сопротивление будет функцией двух переменных: . Аналогично входное сопротивление будет функцией этих же переменных: . Тогда полные дифференциалы уравнений (4.94) имеют вид

где и — собственные входное и выходное сопротивления параметрического преобразователя.

Учитывая, что для линейного параметрического преобразователя

— величина постоянная и, согласно принципу взаимности, , то окончательно получим

(4.95)

_.

Сравнивая полученные выражения с (4.85), убеждаемся, что линей­ный параметрический преобразователь с учетом новых значений со­противлений можно рассматривать как генераторный.

Большая ценность понятия «обобщенное сопротивление» заключа­ется в возможности его использования для согласования преобра­зователей в измерительной цепи или СИ с объектом измерения.

Поскольку энергия является носителем измерительной инфор­мации, то основным принципом достижения эффективности СИ является наиболее полная передача в измерительной цепи энергии объекта измерений |4|. Кроме того, потребление энергии объекта из­мерения должно быть минимальным, так как сам факт «отбора» пред­определяет изменение измеряемого процесса. Минимальные потери энергии и ее потребления, очевидно, могут быть достигнуты только в случае оптимального согласования преобразователей в измери­тельной цепи и СИ с объектом измерения.

В основу согласования преобразователей может быть положен принцип согласования их сопротивлений, причем в общем случае необходимо рассматривать комплексные сопротивления.

Для генераторных преобразователей, входным параметром ко­торых является мощность, согласование сопротивлений рассмотрим на примере двух преобразователей, находящихся в измерительной цепи: предыдущего и последующего. При этом последний представ­лен сопротивлением нагрузки Z_H.

Мощность, передаваемая от предыдущего преобразователя к по­следующему, может быть определена как

или с учетом (4.89)

(4.89)

Первый сомножитель характеризует мощность предыдущего преоб­разователя при , то есть

Очевидно, максимальное значение передаваемой энергии будет в слу­чае максимума соотношения , то есть равенства нулю произ­водной

(4.96)

где

Из (4.96) следует, что максимум передачи энергии будет при равен­стве комплексных сопротивлений , при этом эффективность согласования . Для преобразователей с различным харак­тером сопротивлений условием согласования является равенство модулей сопротивлений, однако эффективность согласования бу­дет зависеть в этом случае от аргументов и [4]. Условие со­гласования можно считать выполненным при . При этом, в связи с пологим характером кривой передачи мощности, возможно соотношение

_.

Для преобразователей, выходным параметром которых являют­ся обобщенные сила и скорость, равенство не может быть условием согласования. Подтверждением этому является сле­дующий пример. Для преобразователя, выходным параметром ко­торого будет ток I (механические скорость или перемещение), со­противление нагрузки должно быть минимальным по отношению к . Это соответствует минимальному электрическому сопротив­лению или максимальной механической податливости. Согласова­ние сопротивлений в этом случае должно быть выполнено с точки зрения точности передачи информации [4].

С целью определения условий согласования, как и прежде, рас­смотрим два преобразователя измерительной цепи. Погрешность пе­редачи информации от предыдущего преобразователя к последую­щему может быть определена как

_1.

если информативный параметр — скорость или как

_2.

если информативный параметр — сила .

Для электрических измерительных преобразователей в первом слу­чае при параллельном включении и

(4.97)

Для последовательного включения сопротивлений и , что имеет место при измерении (передаче) напряжений,

(4,98)

Из полученных уравнений следует, что минимальная погрешность передачи информации будет в том случае, когда информативный па­раметр — обобщенная скорость ( << ) или обобщенная сила (при >> ).

Для параметрических преобразователей согласование сопро­тивлений выполняют на основе сопоставления энергетических соот­ношений сопрягаемых преобразователей в двух режимах — при на­личии входного сигнала и его отсутствии [4]. Условие согласова­ния в этом случае для электрического преобразователя , где — выходное сопротивление предыдущего преобразователя при отсутствии входного сигнала.

Приведенные соотношения сопротивлений и (4.97) и (4.98) справедливы в общем случае и для СИ в целом. Только в этом слу­чае сопротивление нагрузки следует рассматривать как входное сопротивление СИ, а сопротивление — как сопротивление объ­екта измерений. Тогда при измерении обобщенных перемещений и их производных (скоростей) следует стремиться к всемерному уменьшению входного сопротивления прибора, и, наоборот, при из­мерении обобщенных сил — к его возможно большему увеличению.

Такая постановка вопроса в теоретическом плане дает возмож­ность сравнить приборы прямого преобразования и приборы, по­строенные по схеме уравновешивания. Рассматривая прибор, по­строенный по схеме уравновешивания (рис. 4.12) как состоящий из прямой цепи с коэффициентом преобразований и цепи обратной связи с коэффициентом преобразования , сравним их сопротивле­ния.

Коэффициент преобразования для линейных приборов

Если обозначим сопротивление прямой цепи прибора то вход­ное сопротивление прибора, построенного по схеме уравновешива­ния, будет

Здесь входное сопротивление прибора увеличится в раз в сравнении с прибором прямого преобразования.

Но, с другой стороны, для измерения перемещений и их произ­водных по времени целесообразно уменьшить обобщенное входное сопротивление. При подключении на входе сопротивления обрат­ной связи последовательно общее входное сопротивление увеличивается в раз, а при подключении параллельно проводи­мость увеличивается или сопротивление уменьшается в раз.

Например, физически увеличение сопротивления объясняется тем, что к жесткости механического чувствительного элемента (преобразователя неравновесия), зависящей, как правило, от его конструкции, добавляется некоторая другая жесткость

обусловленная параметрами цепей и .

Таким образом, имея, например численные значения параметров прямой и обратной цепей, можно по величине сопротивления оце­нить «эффект» введения обратной связи, а в зависимости от формы сопротивления (операторное, комплексное, переходное) — и изме­нение других характеристик прибора.

Дополнительные сведения.

Из (4.83) дляп= 2 полу­чим так называемую -форму уравнений:

(4.84)

где коэффициенты называются .

_.

Внимание! т.к. они определены при разных режимах.

Эти параметры имеют следующие названия:

(4.85)

_{входное сопротивление при режиме холостого хода (Х.Х) на выходе;}

_{выходное сопротивление при Х.Х. на входе.}

_{--сопротивление обратной передачи при Х.Х. на входе; сопротивление прямой передачи при Х.Х. на выходе;}

_{- входная проводимость в режиме короткого замыкания на выходе;}

_{- выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе;}

_{- проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;}

_{- проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;}