ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Аналогично приведенной методике составления аналогий пара­метров механических и электрических цепей можно получить ана­логии обобщенных параметров для цепей другой физической при­роды, например акустических, тепловых и т. д.

Наибольшее распространение получила первая аналогия пара­метров [43, 47, 48, 49], которая в дополнение табл. 4.2 для акусти­ческой и тепловой цепей приведена в табл. 4.3. Здесь приняты следу­ющие обозначения: — тепловая энергия системы; — коэффи­циент теплопроводности; — скорость распространения звука в среде; — динамическая вязкость среды.

Последовательность составления дифференциальных уравнений с использованием метода аналогий рассмотрим на примере индуктивного преобразователя с переменной длиной воздушного зазора (рис. 4.11) для измерения давления р. Преобразователь состоит из мембраны 1, магнитопровода 2 с катушкой индуктивности L, кото­рая через сопротивление нагрузки подключена к источнику питания U. Выходной величиной может быть падение напряжения на сопротивлении нагрузки R_H. На рис. 4.11, б представлена эквивалентная схема преобразователя, где m — масса подвижных частей;

F = pSэф — сила, развиваемая мембраной с эффективной площадью под воздействием давления р; R_m — демпфирующее действие объема воздуха; X — значение воздушного зазора; Х₀ — установившееся значение зазора при р = F = 0,и .

Следует заметить, что к такой эквивалентной схеме могут быть приведены и многие другие электромагнитные преобразователи.

Для механической и электрической цепей в данном случае целесообразна первая аналогия параметров (параллельно после­довательно). Тогда, согласно табл. 4.2, обобщенные координаты — перемещение X и зарядQ ; обобщенные скорости — скорость изме­нения воздушного зазора X и ток I; коэффициент инерции — мас­са m и индуктивность L; обобщенные силы — сила F и напряжение U ; коэффициент сопротивления — параметр демпфирования R_m и активное сопротивление катушки и нагрузки коэффи­циент упругости — жесткость пружины k.

Заметим, что пренебрегая краевым эффектом и считая, что ос­новная часть сопротивления магнитной цепи приходится на воз­душный зазор и нет насыщения, индуктивность можно определить как функцию воздушного зазора и постоянных параметров:

где — площадь поперечного сечения сердечника.

Определим энергии как квадратичные функции параметров це­пей:

Кинетическая энергия:

(4.61,б)

;

;

;

;

;

;

;

(4.82)

Как видно, эти уравнения нелинейны. В реальных преобразова­телях имеют место малые отклонения в окрестности рабочей точки X. Запишем значения переменных X и I в отклонениях от уста­новившегося значения Х₀ и I₀ при р = 0 и :

где i, х — изменения тока и воздушного зазора при изменении дав­ления р.

где

При малых значениях х выражения для индуктивности можно раз­ложить в ряд Тейлора в окрестности точки Х₀ или по формуле би­нома Ньютона. В обоих случаях получим:

Пренебрегая значениями членов второго и более высоких порядков малости, имеем

Подставив в (4.82) значения I, L, X и пренебрегая членами вто­рого порядка малости (такими, как i² и ix), получим линеаризован­ные дифференциальные уравнения преобразователя:

Исключим из полученных уравнений слагаемые, соответствующие условиям равновесия в рабочей точке Х₀ ( , и их производные равны нулю):

Тогда окончательно получим дифференциальные уравнения с по­стоянными коэффициентами: