МЕТОД АНАЛОГИЙ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Составление математической модели на основании интеграль­ных принципов является наиболее общим случаем. Для большого класса линейных или линеаризованных преобразователей и измери­тельных цепей динамические уравнения можно получить, используя метод аналогий [43, 47...49], который является разновидностью интегральных принципов. Его применяют, например, для оты­скания аналогов с целью моделирования систем различной физи­ческой природы методами электрических цепей [49], составления эквивалентных схем и решения задач схемотехническим методом [39], составления динамических уравнений [43, 50, 51] и др. Но конечная цель одна — получение моделей, описывающих процессы измерения в той или иной системе.

Отличие метода аналогий от описанного в п. 4.4 заключается в том, что для цепей различной физической природы устанавливается аналогия обобщенных параметров: сил, координат, скоростей, со­противлений, масс и упругости, которые обычно сводятся в таблицу. Затем они используются для составления эквивалентных схем или уравнений путем применения хорошо разработанных методов тео­рии электрических цепей, уравнений Лагранжа и др.

При этом аналоговыми называют цепи (системы) [43] различной физической природы, описываемые одной и той же системой интегродифференциальных уравнений. Следовательно, для установле­ния аналогий параметров и составления интегродифференциальных уравнений для этой цели можно использовать любой подход, на­пример физические законы и структуру измерительной цепи, метод отождествления энергий и др. Но при этом, очевидно, могут быть различными аналогии параметров. Так, например, в связи с тем, что имеется параллельное и последовательное соединение элемен­тов в механических и электрических цепях, то может быть, по край­ней мере, четыре аналогии параметров, называемых прямыми (парал­лельно <=> параллельно и последовательно <=> последовательно) и обратными (параллельно <=> последовательно).

При отыскании аналогий параметров путем отождествления энергий и применения уравнений Лагранжа будем иметь две ана­логии: первую — для и ; вторую — для и , хотя с введением понятий коэнергий аналогий парамет­ров м принципе может быть также четыре. В настоящее время установившейся терминологии по аналогии параметров в литературе нет. Так, первая аналогия и получившая наи­большее распространение [47, 48], совпадает с обратной аналогией параметров: механическая система параллельно, электрическая — последовательно [43].

Методику построения аналогов рассмотрим на примере сравне­ния механических и электрических цепей, причем используем для этих целей методики составления дифференциальных уравнений на основании физических законов и структуры цепей. Эта методика является наглядной и иллюстрирует сущность применения метода аналогий. Кроме того, она вскрывает внутреннюю структуру изме­рительных цепей, что является важным фактором при исследовании и разработке СИ.

На рис. 4.7 приведена механическая цепь с параллельным со­единением элементов, состоящая из пружины 1 с коэффициентом жесткости , вязкого демпфера 2 с параметром демпфирования и приведенной массы m подвижных частей, к которым приложена активная сила F. Примером может быть механическая измеритель­ная цепь емкостного преобразователя (рис. 4.6, б).

------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------

Согласно принципу Д'Аламбера (4.1),

(4.73)

где — сила инерции; — силы, развиваемые пружиной и демпфером соответственно; х — перемещение (обобщенная коорди­ната), отсчитываемое от исходного состояния равновесия (F = 0). Уравнение (4.73) можно записать в виде

(4.74)

Для установления обратной аналогии параметров (механиче­ская цепь параллельно => электрическая последовательно) со­ставим дифференциальные уравнения электрической цепи (рис. 4.8) с последовательным включением элементов: активного сопротив­ления R; индуктивности L; емкости С. Используя второй закон Кирхгофа, получим

(4.75)

или с учетом

(4.76)

Сравнивая уравнения (4.74) и (4.76), можно установить анало­гии параметров: механическая цепь параллельно => электрическая последовательно. Аналогии параметров для механических и элект­рических цепей приведены в табл. 4.2. Нетрудно убедиться, что эта аналогия полностью совпадает с первой (табл. 4.1) при отождест­влении и _,и выборе в качестве обобщенной коорди­наты для электрической цепи заряда Q и обобщенной скорости тока i.

(4.77)

где — падение напряжения на элементах. Это уравнение с учетом соотношения можно записать как

Сравнивая параметры в уравнениях (4.78) и (4.74), получим прямую аналогию механической и электрической цепей: параллельно па­раллельно (табл. 4.2). Следовательно, эта аналогия совпадает со второй аналогией (табл. 4.1) при отождествлении и и выборе в качестве обобщенной координаты в электрической цепи потокосцепления и обобщенной скорости напряжения и.

(4.79)

где х — входная скорость под воздействием СИЛЫ F; — скорость «сжатия» пружины; — относительная скорость подвижных частей демпфера; — скорость движения массы т.

(4.80)

или при замене переменных на обобщенный импульс

Получим

(4.81)

Сравнивая уравнение (4.81) с уравнениями (4.76) и (4.78), полу­чим недостающие две из четырех аналогий параметров механических и электрических цепей (табл. 4.2).

Имея таблицу аналогий параметров, можно составить динамиче­ские уравнения измерительной цепи, исходя из коэффициентов и обобщенных переменных, или же, определив энергетические функ­ции, применить уравнения Лагранжа второго рода для каждой обобщенной координаты (п. 4.4). При этом кинетическая энергия будет определяться как квадратичная функция обобщенных скорос­тей, а потенциальная — как квадратичная функция обобщенных координат. Коэффициенты, как следует из табл. 4.2, могут иметь различный физический смысл.

Из табл. 4.2 видно, какие из переменных целесообразно прини­мать в качестве независимых с точки зрения состава цепи и соедине­ния элементов. Например, если цепь содержит только элементы с магнитными полями связи, целесообразна аналогия «параллельно последовательно», совпадающая с первой и при выборе в качестве обобщенной скорости тока и силы — напря­жения и. И наоборот, если цепь содержит только элементы с элек­трическими полями связей, то целесообразна вторая аналогия и , при этом и, . При таком выборе аналогий получим общепринятые в электротехнике уравнения цепей:

Полученные для механической цепи с последовательным вклю­чением элементов обобщенные параметры (табл. 4.2) и уравнение (4.81) в механике практически не применяются и в литературе встречаются редко, хотя эта разновидность может быть весьма по­лезной при определенном сочетании входной и выходной величин, например