ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

Проведем экономический анализ задачи на конкретном примере.

Пример.Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Величины спроса трех магазинов розничной торговли на это изделие равны 3, 5 и 6 т.

Какова минимальная стоимость транспортировки от поставщиков к потребителям? Провести анализ решения при условии, что единичные издержки транспортировки в ден. ед. даны в матрице

Решение. Запасы складов: т, потребности магазинов: т; так как имеем открытую задачу. Введем фиктивный магазин со спросом b_4ф = 21 – 14 = 7 т. Тариф фиктивного потребителя В_4ф примем равным наибольшему из всех транспортных тарифов – 20 ден. ед. (табл. 3.8).

Таблица 3.8

Оценки свободных клеток:

Δ₁₁ = – 9, Δ₂₁ = – 11, Δ₂₃ = – 13, Δ₂₄ = – 10, Δ₃₂ = 0, Δ₃₃ = – 2,

Δ₃₄ = 0.

Оценки Δ₃₂ = Δ₃₄ = 0, задача имеет альтернативный оптимум, и одно из решений имеет вид

Минимальная стоимость транспортных расходов

Z_опт1 = 93 ден. ед.

Итоговое распределение перевозок, а также значения оценок свободных клеток, которые называют теневыми ценами (двойственные оценки), можно использовать при проведении экономического анализа. Теневая цена показывает, на сколько увеличится общая стоимость транспортных расходов, если в пустую клетку поместить одно изделие. Например, если придется осуществить перевозку одного изделия с торгового склада А₂ в розничный магазин В₃, то увеличение стоимости составит ден. ед., что больше, чем тариф груза клетки (А₂; В₃), равный 8 ден. ед. Дополнительное увеличение стоимости транс-портных расходов появляется в связи с перераспределением перевозок. Составим цикл распределения перевозок с помещением груза в пустую клетку (А₂; В₃):

+ – 5 2

– + 0 4

В клетку (А₂; В₃) помещаем груз 4 т, в (А₁; В₃) – 2 т, в (А₁; В₂) – 5 т, в (А₂; В₂) вместо 4 т – пустая клетка.

Изменение расходов составит 4·20 – 4·10 + 4·8 – 4·5 = 72 ден. ед. или на одно изделие 72 : 4 = 13 ден. ед.

Если теневая цена клетки равна нулю (Δ₃₂ = 0), то задача имеет альтернативный оптимум. Перераспределим грузы относительно клетки (А₃; В₂):

– + 0 3

+ – 1 4

Еще одно оптимальное решение задачи имеет вид

Минимальная стоимость транспортных расходов Z_опт2 = 93 ден. ед.

Аналогичный анализ можно провести и по остальным свободным клеткам.

Теневые цены свободных клеток можно использовать в качестве индикаторов изменений стоимости транспортировки одного изделия или тарифа.

Например, теневая цена пустой клетки (А₃; В₃) равна а фактическая цена транспортировки одного изделия – 7 ден. ед. Следовательно, для того чтобы использование данной клетки в распределении перевозок привело к снижению общих транспортных расходов, чтобы тариф этой клетки был бы не более 7 – 2 = 5 ден. ед.

Приведем стоимостный анализ изменений в занятых клетках. При снижении тарифа увеличение числа изделий в данной клетке выгодно. Если же тарифы занятых клеток возрастают, то при достижении ими определенного значения использование этой клетки является нежелательным и необходимо произвести перераспределение грузов.

В качестве примера определим допустимые изменения тарифа занятой клетки (А₁; В₃). Тариф клетки равен 5 ден. ед. за одно изделие. Уменьшение этой величины не повлияет на объем перевозок, так как указанное количество изделий в клетке удовлетворяет всю потребность магазина 3.

Если тариф клетки (А₃; В₁) становится больше 5 ден. ед., то при составлении циклов будет задействована пустая клетка (А₂; В₃) с или (А₃; В₃) с В обоих циклах клетка (А₁; В₃) будет иметь знак (–) и любое увеличение тарифа повлечет снижение теневой цены пустой клетки (А₂; В₃) или (А₃; В₃).

Изменение объема перевозок будет иметь место в случае, если тариф клетки (А₁; В₃) возрастет более чем на 2 ден. ед. и превысит 7 ден. ед. При этом теневая цена клетки (А₃; В₃) станет положительной и окажется невыгодным использование клетки (А₁; В₃).

Таким образом, для получения оптимального распределения перевозок тариф клетки (А₁; В₃) должен изменяться в диапазоне от 0 до 7 ден. ед. Внутри указанного промежутка происходит лишь изменение общей стоимости транспортных расходов, а распределение перевозок не меняется.