ЗАКРЫТАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Рассмотрим закрытую транспортную задачу. Обозначим через x_ij – количество груза, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j. Условия закрытой транспортной задачи запишем в распределительную таблицу, которую будем использовать для нахождения решения.

Математическая модель закрытой транспортной задачи имеет вид

Систему ограничений получаем из следующих условий задачи:

а) все грузы должны быть перевезены, т.е.

б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

Оптимальным решением задачи является матрица

удовлетворяющая системе ограничений и доставляющая минимум целевой функции. Транспортная задача, как задача линейного программирования, может быть решена симплексным методом, однако наличие большого числа переменных и ограничений делает вычисления громоздкими.

Рассмотрим каждый из приведенных выше этапов.

Условия задачи и ее исходное опорное решение будем записывать в распределительную таблицу. Клетки, в которых поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют базисные переменные опорного плана. Остальные клетки – незанятые, или пустые, им соответствуют свободные переменные. В верхнем правом углу каждой клетки будем записывать тарифы. Существует несколько способов нахождения опорного плана:

· метод северо-западного угла;

· метод минимальной стоимости;

· метод двойного предпочтения и т.д.

План составляется последовательным заполнением по одной клетке в таблице перевозок так, что каждый раз либо полностью удовлетворяется потребность одного из потребителей, либо полностью вывозится груз от некоторого поставщика. В теории доказывается, что базисное решение системы ограничений (из m + n уравнений с m´ n переменными) в условиях транспортной задачи имеет m + n – 1 базисных переменных, т.е. заполненных клеток (ее ранг равен m + n – 1), поэтому, совершив m + n – 1 указанных шагов, получим первый опорный план. Различие метода северо-западного угла и различных модификации метода наименьшей стоимости отыскания первого опорного плана состоит в различии способов выбора последовательности заполнения клеток.

Метод северо-западного угла. В соответствии с этим методом загрузка клеток (распределение объемов пунктов отправления по пунктам назначения) начинается с верхней левой клетки х₁₁ («северо-западная» часть таблицы), продолжается вниз и вправо (по диагонали) и заканчивается в клетке неизвестного x_mn.

Метод минимальной (наименьшей) стоимости (минимального тарифа, минимального элемента). Исходный опорный план, построенный методом северо-западного угла, как правило, оказывается весьма далеким от оптимального, так как при его определении совершенно игнорируется величины затрат c_ij. Поэтому требуются в дальнейших расчетах много итераций для достижения оптимального плана. Число итераций можно сократить, если исходный план строить по более рациональному правилу «минимального элемента». Сущность его состоит в том, что на каждом шаге заполняется клетка с наименьшей величиной c_ij. Если такая клетка не единственная, то лучше заполнять ту, по вертикали или по горизонтали которой встречаются большие c_ij, а в принципе заполняется любая из них.

Пусть это будет клетка (i, j). Запишем в эту клетку x_ij = min(a_i, b_j). Если a_i < b_j, то запасы поставщика A_i исчерпаны, а потребность B_j стала Поэтому, не принимая более во внимание i-ю сроку, снова ищем клетку с наименьшей стоимостью перевозок и заполняем ее с учетом изменившихся потребностей. Для случая a_i > b_j из рассмотрения исключается j-й столбец, а запасы A_i полагаются равными Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все потребности – удовлетворены. Необходимо отметить, что при наличии в таблице клеток с одинаковыми тарифами, планы, полученные с помощью этого метода, могут быть разными, однако они, несомненно, ближе к оптимальному, чем план, составленный по методу северо-западного угла.

Метод двойного предпочтения. В модификации метода минимальной стоимости «двойного предпочтения» отмечают клетки с наименьшими стоимостями перевозок сначала по каждой строке, а затем по каждому столбцу. Клетки, имеющие две отметки, заполняют в первую очередь, затем заполняют клетки с одной отметкой, а данные о нераспределенном грузе записывают в неотмеченные клетки с наименьшими стоимостями. При этом из двух клеток с одинаковой стоимостью перевозок предпочтение отдается клетке, через которую осуществляется больший объем перевозок.

Пример составления начального распределения методом северо-западного угла показан в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Порядок заполнения клеток: (А₁;В₁), (А₁;В₂), (А₂;В₂), (А₂;В₃), (А₃;В₃), (А₃;В₄). Число занятых клеток равно m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6. Суммарные затраты на реализацию данного плана перевозок составят

Z_опт = 4·30 + 5·30 + 3·70 + 6·30 + 7·10 + 4·110 = 1170.

Пример начального распределения методом наименьших стоимостей для тех же исходных данных, что и ранее, представлен в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Порядок заполнения клеток: (А₂;В₁), (А₃;В₂), (А₂;В₄), (А₁;В₃), (А₁;В₄), (А₃;В₄). Суммарные затраты на реализацию данного плана перевозок составляют

Z_опт = 1·30 + 2·100 + 2·70 + 2·40 + 3·20 + 4·20 = 590.

Пример начального распределения методом двойного предпочтения для тех же исходных данных, что и ранее, представлен в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Порядок заполнения клеток: (А₂;В₁), (А₃;В₂), (А₁;В₃), (А₂;В₄), (А₁;В₄), (А₃;В₄). Суммарные затраты на перевозки, представленные в табл. 3.3, составляют

Z_опт = 1·30 + 2·100 + 2·40 + 2·70 + 3·20 + 4·20 = 590.

Следовательно, опорные планы, построенные методами наименьших стоимостей, значительно ближе к оптимальному плану, чем план, составленный по методу северо-западного угла.

При распределении грузов может оказаться, что количество занятых клеток меньше, чем m + n – 1. Такой план называется вырожденным. В этом случае недостающее их число заполняется клетками с нулевыми поставками такие клетки называют условно занятыми.

Нулевые поставки помещают в незанятые клетки с учетом наименьшего тарифа таким образом, чтобы в каждых строке и столбце было не менее чем по одной занятой клетке.