Основные теоремы теории вероятностей

Теория вероятностей — это математическая наука, занимающаяся изучением случайных событий и вероятностей их появления.

Теорема простых событий. Вероятность Р появления какого-то события определяется как отношение числа случаев , благоприятствующих появлению данного событии, к числу всех возможных и несовместимых случаев N. Записывается это так:

.

Равновозможными или равновероятными являются такие события, когда каждое из них имеет одинаковую возможность появиться. Несовместимыми называются события, взаимно исключающие друг друга (при появлении одного из них другое уже не может иметь места).

Теорема сложения. Если мы имеем несколько несовместимых, т. е. исключающих друг друга, событий с разными значениями вероятностей и т. д., то вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, равна сумме вероятностей этих событии. Эта теорема представляется так: и т. д.

Например, для сборки машин подано 50 валов ( ), среди которых находились два вала с наибольшим размером 30 мм, один вал с наименьшим размером 29,98 мм, а остальные валы с разными промежуточными размерами. Слесарь не знает, какие размеры имеют те или иные валы, и берет для сборки машины первые попавшиеся.

Вероятность постановки в машину вала с наибольшим размером 30 мм (обозначим это как событие ) равна 0,04:

,

а вероятность постановки вала с наименьшим размером 29,98 мм (обозначим это событие Р₂) равна 0,02:

Следовательно, вероятность постановки в собираемую машину вала с наибольшим размером или с наименьшим равна сумме вероятностей их: или 6%.

Теорема умножения. Если мы имеем ряд событий являющихся независимыми друг от друга, с соответствующими индивидуальными вероятностями и т. д., то вероятность Р одновременного пли последовательного появления двух или нескольких из них равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Это пишется так: и т. д.

Так как вероятность каждого случайного события представляется числом меньше 1, то в результате при умножении ряда таких чисел получится очень малое число. Следовательно, из теоремы умножения вытекает, что совпадение ряда случайных событии явление очень редкое.

Если, например, при установленном технологическом процессе вероятность появления валов с наименьшим, предельным размером составляет 0,02 (т. е. 2%), а вероятность втулок с наибольшим предельным размером отверстия 0,01 (1%), то вероятность того, что собранные вал и втулка будут с такими размерами, равна: , т. е. 0,02%.

Это означает, что в среднем на 10000 собранных изделий только в двух может быть наибольший предельный зазор.