Тема 5. Інтеграл і його застосування

5.1. Для функції знайдіть хоча б одну первісну:

1) ;2) ;3) ;

4) ;5) ;6) ;

7) ;8) ;9) ;

10) ;11) ;12) ;

13) ;14) ;15) .

5.2. Знайти для функції первісну, графік якої проходить через дану точку:

1) , М (2; 15); 2) , М (1; 1);

3) , А (2; 1); 4) , М (1; 1);

5) , М (1; -1); 6) , А (3; 9);

7) , М ( ; -1); 8) , М ( ; );

9) , М (1; 4); 10) , М ( ; 1).

5.3. Обчисліть невизначений інтеграл:

1) ;2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ;12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ;

31) ; 32) ; 33) ;

34) ; 35) ; 36) ;

37) ;38) ; 39) ;

40) ; 41) ;42) ;

43) ; 44) ; 45) ;

46) ; 47) ; 48) ;

49) ;50) ; 51) ;

52) ; 53) ; 54) ;

55) ;56) ; 57) ;

58) ; 59) ; 60) ;

61) ;62) ; 63) ;

64) ; 65) ;66) ;

67) ; 68) ; 69) ;

70) ; 71) ; 72) ;

73) ;74) ; 75) ;

76) ; 77) ;78) ;

79) ;80) ; 81) ;

82) ;83) ; 84) ;

85) ; 86) ; 87) ;

88) .

5.4. Обчисліть визначені інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ;18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ;

31) ; 32) ; 33) ;

34) ; 35) ; 36) ;

37) ; 38) ; 39) ;

40) ; 41) ; 42) ;

43) ; 44) ; 45) ;

46) ; 47) ; 48) ;

49) ; 50) ; 51) ;

52) ; 53) ; 54) ;

55) ; 56) ; 57) ;

58) ; 59) ; 60) ;

61) ; 62) ; 63) ;

64) ; 65) ; 66) ;

67) ; 68) ; 69) ;

70) ; 71) ; 72) ;

73) ; 74) ; 75) ;

76) ; 77) ; 78) ;

79) ; 80) ; 81) ;

82) ; 83) ; 84) ;

85) ; 86) ; 87) ;

88) ; 89) .

5.5. Знайти площу фігури, обмеженої лініями:

1) у = х² + 2, у = 3; 2) у = х², у = 0, у = 2 – х;

3) у = х² – 9, у = 0; 4)у = х² + 1, у = 0, х = 2, х = 0;

5) у = 6х – х², у = 0; 6) у = х² – 5х + 6, у = 0;

7) , ; 8) у = 2х – х², у = х;

9) у² = х, х = 1, х = 4; 10) у = х², у = -х + 6, у = 0;

11) у = х² – 4х + 4, у = 4 – х; 12) у = 8 + 2х – х², у = 2х + 4, у = 0;

13) у = cos x, х = 0, х = 2π, у = 0; 14) ху = 4, х + 4у – 10 = 0;

15) у = х² – 1, у = 3; 16) у = 5 – х², у = 1;

17) , х = 0, у = 0, ; 18) у = х² + 1, х = 2, х = 0, у = 0;

19) у = -х², у = х – 2; 20) у = -х² + 3, х = -1, х = 1,5;

21) у = -х² + 4, у = х² - 4; 22) у = х² – 4х, у = х – 4;

23) у = 2х², у = х; 24) , х = 1, х = 2;

25) , у = х²; 26) у = 7х – 2х², ;

27) у = х, у = 4 – х, х = 0; 28) у = 1 – х, у = 3 – 2х – х²;

29) , ху = 1, х = 4, у = 0; 30) у = -х² + 5, у = х² + 1;

31) , у = х + 4; 32) ху = 7, у = 0, х = 2, х = 6;

33) у = х, , х = 2; 34) , , у = 0;

35) у = 8х – х² – 7, вісь Ох; 36) у² = 4х, х² = 4у;

37) 4у = х + 2, у = 3 – х, у = 0.

5.6. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Ох фігури, що обмежена лініями:

1) у = х², х = 0, х = 2, у = 0; 2) , у = 0, х = 2;

3) у² = 8х, у = х²; 4) ху = 4, х = 3, х = 12 та віссю абсцис;

5) у = 0, х = 0, х = 2, у = х + 1; 6) , у = 0 і х = 4;

7) ху = 8, у = 0, х = 1 і х = 6; 8) , х = 4 та віссю Ох;

9) у = 2 + х², х = 1, х = 2, у = 0; 10) у² – 3х = 0, х – 3 = 0;

11) , у = 0, х – 3 = 0, х = 3; 12) у = х³, х = 1, х = 2.

5.7. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Оу фігури, що обмежена лініями:

1) у = х², у = 1, у = 3; 2) у = х² + 1, у = 4;

3) , у = 2, у = 0; 4) х² – 2у = 0, у – 2 = 0;

5) ху = 6, у = 1, у = 4 та віссю Оу; 6) у = 6х², у = 3 та віссю Оу;

7) , у = 0, у = 3; 8) ху = 8, х = 0, у = 1 і у = 6;

9) , віссю Оу і у = 7; 10) , ;

11) у = х³, х = 0, у = 0, у = 8; 12) у = 2х, х = 0, у = 5.

5.8. Знайти об’єм кульки, радіуса 5 см.

5.9.Тіло рухається з прискоренням а = 24t² + 8. Знайти закон руху, якщо: t = 1с, V = 10 м/с, S = 12 м.

5.10. Тіло рухається зі швидкістю V (t) = 6t + 4 (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом за третю і п’яту секунду.

5.11. Тіло рухається зі швидкістю V (t) = 4t³ +2t + 3 (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом:

1) за третю секунду; 2) за три секунди від початку руху.

5.12. Тіло рухається зі швидкістю V (t) = 4t – t² (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом від початку руху до зупинки.

5.13. Знайдіть відстань, пройдену точкою за проміжок часу від t = 0 до t = 3 с, якщо швидкість точки змінюється за законом V = 9,8t – 0,3t².

5.14. Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за законом V (t) = 3t² – 2t. Знайдіть закон руху точки.

5.15. Матеріальна точка рухається зі швидкістю V (t) = sin t + cos t. Знайдіть рівняння руху точки, якщо при пройдений шлях дорівнює 3 м.

5.16. Тіло рухається по прямій зі швидкістю V (t) = 4t + 2 (t – час у секундах, V – швидкість у м/с). Знайдіть довжину шляху, який пройшло тіло за перші 3 с.

5.17. Швидкість руху тіла задано рівнянням V = (3t² + 2t - 1) (м/с). Знайти шлях, який пройде тіло за 10 с від початку руху.

5.18. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю V (t) = 6t – 2t² (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом від початку руху до його зупинки.

5.19. Тіло кинули з поверхні Землі вертикально вверх зі швидкістю V = 39,2 – 9,8t (м/с). Знайти найбільшу висоту підйому тіла.

5.20. М’яч кинутий вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с. На яку найбільшу висоту він підніметься?

5.21. Швидкість руху тіла см/с. Визначити його шлях за четверту секунду.

5.22. Точка рухається по прямій зі сталим прискоренням 12 м/с². Знайти швидкість руху точки, якщо в початковий момент швидкість V₀ = 100 м/с.

5.23. Точка рухається по прямій зі сталим прискоренням 8 м/с². Знайти рівняння руху, якщо відомо, що в момент часу t = 0 точка знаходилась на відстані 24 м від початкового положення і мала початкову швидкість 5 м/с.

5.24. Швидкість руху точки задається рівнянням V = 7t² – 1 (м/с). Знайти рівняння руху, якщо S = 12 м у момент часу t = 2с.

5.25. Швидкість руху задається рівнянням V = 3cos t (м/с). Знайти рівняння руху, якщо в початковий момент часу точка знаходилась на відстані 2 м від початкового положення.

Тестові завдання до теми